Twoim problemem jest to, że powszechną NICOŚĆ mylisz z osobistą PUSTKĄ
Krzysztof Moszynski
DWANASCIE WYKLAD OW
Z METOD
NUMERYCZNYCH
R OWNA N
R O ZNICZKOWYCH
CZ ASTKOWYCH
Skrypt do przedmiotu
1000 - 135NRC
UNIWERSYTET WARSZAWSKI
WYDZIAL MIM 2003/2004
.
Dzi ekuje wszystkim moim studentom, ktorzy znalezli
liczne bl edy w tym skrypcie i mi o nich doniesli.
Specjalne podzi ekowanie skladam
Pani Katarzynie Piaskowskiej
za zrobienie pelnej korekty tego tekstu.
Krzysztof Moszynski
2
Wyklad 1
Wst ep
Klasyfikacja zagadnien
Przyjmijmy, dla naszych celow, tak
,
a klasyfikacj
,
e zagadnien rozpatry-
wanych dla rownan rozniczkowych cz
,
astkowych:
•
I. Zagadnienia stacjonarne
•
II. Zagadnienia ewolucyjne
I. Typowy przyklad zagadnienia stacjonarnego:
(1) −u(p) = f(p) dla p2R
n
,
(2)
u(p) = (p) dla p2@,
Jest to rownanie Poissona z warunkiem brzegowym Dirichleta.
Klasyfikacja operatorow rozniczkowych drugiego rz
,
edu
L(u) =−
d
X
a
i,j
(p)
@
2
@x
i
@x
j
u +
d
X
b
j
(p)
@
@x
j
u + c(p)u
i,j=1
j=1
A(p) = (a
i,j
(p)) jest macierz
,
a wspolczynnikow: A(p)
T
= A(p).
•Jesli A(p) jest dodatnio okreslona (piszemy A(p) > 0), to operator L jest
eliptyczny w punkcie p,
•jesli A(p) ma d−1 dodatnich wartosci wlasnych i jedn
,
a ujemn
,
a, to operator
L jest hiperboliczny w punkcie p,
•jesli A(p) jest okreslona nieujemnie, ale nie jest okreslona dodatnio, zas
macierz [A(p)|b(p)] jest rz
,
edu d, to operator L jest paraboliczny w punkcie
p.
=
P
d
j=1
@
2
3
@x
2
j
- to Laplasjan;− jest operatorem eliptycznym.
II. Przyklady zagadnien ewolucyjnych.
•Rownanie hiperboliczne pierwszego rz
,
edu
(1)
@t
u + c
@
@x
u = 0
c - stala, t - ”czas”, x - ”przestrzen”. Zmienne niezalezne t i x s
,
a
traktowane odmiennie !
Stawiane zagadnienia:
1.
(1)
@t
u + c
@
@x
u = 0,
(2)
u(0,x) = (x), x2R.
zagadnienie pocz
,
atkowe (Cauchy’ego)
2.
(1)
@t
u + c
@
@x
u = 0,
(2)
u(0,x) = (x), x2R
+
,
(3)
u(t, 0) = (t), t2R
+
.
dla c > 0. Jest to zagadnienie mieszane pocz
,
atkowo - brzegowe.
Latwo zauwazyc, ze u(t,x) = (x−ct) jest rozwi
,
azaniem zagadnienia Cauchy-
ego, jesli jest klasy C
1
. Takie rozwi
,
azanie mozna interpretowac jako ”prze-
suwanie”warunku pocz
,
atkowego w czasie - konwekcja.
•Rownanie hiperboliczne drugiego rz
,
edu
(1)
@t
2
u−a
@
2
@x
2
u = 0
dla a > 0.
4
@
@
@
@
2
1. Zagadnienie Cauchy’ego:
(1)
@t
2
u−a
@
2
@x
2
u = 0,
(2)
u(0,x) =
1
(x), u
t
(0,x) =
2
(x).
dla x2R.
2. Zagadnienie mieszane:
(1)
@t
2
u−a
@
2
@x
2
u = 0
(2)
u(0,x) =
1
(x), u
t
(0,x) =
2
(x),
dla x2[0,L] -warunki pocz
,
atkowe,
(3)
u(t, 0) =
1
(t), u(t,L) =
2
(t)
dla t2[0,T] - warunki brzegowe.
Charakter rozwi
,
azania. B
,
edziemy poszukiwac rozwi
,
azania postaci
u(t,x) = e
i(x+t)
.
Po podstawieniu do rownania znajdziemy:
u(t,x) = e
i[(x+
p
at)]
podobnie jak w przypadku rownania rz
,
edu 1, jest takze przesuwanie, ale
bardziej zlozone. W obu przypadkach s
,
a to ”zjawiska falowe”.
•Rownanie paraboliczne
(1)
@t
u = a
@
2
@x
2
u, a > 0.
Zagadnienia stawiane:
1. Zagadnienie Cauchy’ego
(1)
@t
u = a
@
2
@x
2
u, a > 0,
(2)
u(0,x) = (x), x2R.
5
@
2
@
2
@
@