sciaga kpwe, Szkoła, Politechnika 1- 5 sem, SEM IV, Komputeryzacja Projektowania w Elektronice. Wykład, Opracowania

Twoim problemem jest to, że powszechną NICOŚĆ mylisz z osobistą PUSTKĄ

Grupa A

1.Interpolacja trygonometryczna

Załóżmy, że znamy wartości pewnej ciągłej i okresowej funkcji f(x) o okresie 2π w 2n+1 węzłach. Jako bazę interpolacji przyjmujemy zbiór funkcji trygonometrycznych

Otrzymujemy zatem wielomian interpolacyjny w postacizawierający 2n+1 nieznanych parametrów.

Ze względu na uproszczenie obliczeń najistotniejszy jest przypadek interpolacji funkcji określonej na zbiorze równoodległych węzłów xiÎ[0,2π] dobranych według następującej zależności

, gdzie i = 0, 1, ..., 2n Czyli

Warunek interpolacji prowadzi do układu równań liniowych w postaci

Współczynniki pierwszego wiersza macierzy X wynikają z wartości funkcji sin(hx) i cos (hx) dla x0 = 0. Przedstawiony układ równań rozwiązuje się natychmiastowo, ponieważ macierz X-1 można wyznaczyć z zależności

2. Aproksymacja średniokwadratowa

Niech dana będzie funkcja y=f(x), która w pewnym zbiorze X punktów x0, x1, ..., xn przyjmuje wartości y0, y1, ..., yn. Wartości te znane tylko w przybliżeniu z pewnym błędem (np. jako wyniki pomiarów). Poszukujemy takiej funkcji Q(x) przybliżającej daną funkcję f(x), która umożliwi wygładzenie funkcji f(x), czyli pozwoli z zakłóconych błędami danymi wartości funkcji przybliżonej otrzymać gładką funkcję przybliżającą.

Niech jj(x), j=0, 1,...,n będzie układem funkcji bazowych. Poszukujemy wielomianu uogólnionego Q(x) będącego najlepszym przybliżeniem średniokwadratowym funkcji f(x) na zbiorze X=(xj). Funkcja przybliżająca ma postać

Przy czym współczynniki ai są tak określone, aby wyrażenie

dla i=0, 1, ..., n

było minimalne. Funkcja w(x) jest z góry ustaloną funkcją wagową.

Aby wyznaczyć współczynniki ai oznaczamy odchylenie

gdzie Rj jest odchyleniem w punkcie xj.

Następnie obliczamy pochodne cząstkowe funkcji H względem ai. Z warunku

, gdzie k = 0, 1, ..., n otrzymujemy układ m+1 równań o niewiadomych ai zwany układem normalnym

, gdzie k = 0, 1, ..., n

Jeśli wyznacznik tego układu jest różny od zera to rozwiązaniem układu jest minimum funkcji H. W zapisie macierzowym układ przyjmuje postać

gdzie

3. Kwadratury Newtona - Cotesa - >wzory zamknięte

Poniżej znajdują się wzory zamknięte dla n = (1..3):

wzór trapezów

wzór parabol (Simpsona

wzór Bessela

4. Numeryczne rozwiązywanie układów równań liniowych

Metoda iteracji prostej (Jakobiego):

Metoda ta dla równania X=W*X+Z polega na przyjęciu zerowego przybliżenia wektora X=Xo, a następnie przeprowadzenia obliczeń iteracyjnych za pomocą zależności:

Xi+1=W*Xi+Z i=0,1,...

Liczba kroków, które należy wykonać, aby uzyskać wymaganą dokładność rozwiązania, jest z reguły dość duża i istotnie zależy od przyjęcia punktu startowego Xo. Punkt ten najczęściej się dobiera na podstawie dodatkowych informacji o fizycznych aspektach problemu.

5. Metoda Rungego - Kutty 4 rzędu rozwiązywania równań różniczkowych I rzędu

Metoda wyprowadzona przez rozwinięcie f(t,y) w szereg Taylora 4 rzędu, pozwala określić stałe we wzorze (wzór ogólny R-K). Poniżej przedstawiono najczęściej stosowaną metodę 4 rzędu

k1 = hf (ti, wi);k2 = hf (ti + ½ *h, wi + ½ *k1);k3 = hf (ti + ½ *h, wi + ½ *k2) ;k4 = hf (ti+h, wi+k3)

ostatecznie: wi+1=wi + 1/6 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4) (38)

Interpretacja graficzna:f1 = f (ti, wi);f2 = f (ti + ½ * h, wi+1 + h f1);f3 = f (ti + ½ * h, wi + ½ * h f2);f4 = f (ti + h, wi + h f3)

linia 3-4 nie jest łamana – jest prosta !!! (na 99%) :)

Grupa B

1.Interpolacja Lagrange`a

W interpolacji wielomianowej Lagrange’a dla n+1 węzłów interpolacji

przyjmuje się funkcje bazowe w postaci

Funkcje te są wielomianami stopnia n zbudowanymi w ten sposób, że w funkcji bazowej φ1 brakuje czynnika (x-xi). Zatem wielomian interpolacji wyraża się następującym wzorem:

współczynniki a0 ... an tego wielomianu wyznaczamy z równania:

X · A = Y, przy czym macierz X ma postać:

Macierz posiada tylko główną przekątną niezerową w związku z tym układ równań X · A = Y rozwiązuje się natychmiastowo

Można więc wielomian interpolacyjny Lagrange’a zapisać w postaci ułamka:lub krócej

, j = 0, 1, ..., n

2. Aproksymacja trygonometryczna

Często spotykamy się z przypadkiem, gdy funkcja f(x) jest okresowa. Taką funkcję wygodniej jest aproksymować, wielomianem trygonometrycznym o bazie:

1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, …, sin kx, cos kx

Jeżeli f(x) jest funkcją dyskretną określoną w dyskretnym zbiorze równoodległych punktów i ich liczba jest parzysta i wynosi 2L (dla nieparzystej liczby punktów rozumowanie jest analogiczne), niech:

dla i = 0, 1, …, 2L-1 Baza jest ortogonalna nie tylko na przedziale <0, 2π>, ale też na zbiorze punktów xi, przy czym warunki ortogonalności mają postać:

dla m, k dowolnych, przy czym m i k zmieniają się od 0 do L

Przybliżeniem funkcji f(x) na zbiorze punktów xi jest wielomian trygonometryczny:

, n<L

Współczynniki aj i bj wielomianu wyznaczamy tak, aby suma kwadratów różnic

była minimalna. Korzystając z warunku ortogonalności otrzymujemy rozwiązanie układu normalnego

w postaci: dla j=1, 2, …, n

3. Kwadratury Newtona - Cotesa -> wzory otwarte

Wzory kwadratur nie opartych na węzłach będących końcami przedziału całkowania nazywamy wzorami otwartymi Newtona - Cotesa

Jeżeli dla skończonego [a ; b] przedziału wybierzemy zbiór punktów węzłowych {x0, …, xn} takich, że :

gdzie:

dla i=(0, …, n)

Oraz

W oparciu o Twierdzenie 1 można również wyznaczyć wzory kwadratur otwartych. Wówczas wzory kwadratur dla n parzystych mają postać

oraz dla n nieparzystych mają postać:

wzór prostokątów

4. Numeryczne rozwiązywanie układów równań nieliniowych

Dany jest układ równań nieliniowych z n niewiadomymi

który możemy zapisać w postaci wektorowej

f(x)=0

gdzie:

O funkcjach fi(x1...xn) dla i = 1, 2, ..., n zakładamy, że mają ciągłe pochodne pierwszego rzędu w pewnym obszarze zawierającym odosobniony pierwiastek układu równań. Niech

x(k) = {x1(k), ..., xn(k)}

będzie k-tym przybliżeniem pierwiastka a = {a1, ..., an} równania.

Dokładną wartość pierwiastka wyraża wzór a = x(k) + ε(k)

Gdzie jest błędem pierwiastka przybliżonego . Skoro istnieje ciągła pochodna funkcji f(x) możemy zapisać:

Zastępując błąd przyrostem i porównując prawą stronę powyższego wyrażenia do zera otrzymujemy równanie liniowe:

Wzór ten stanowi zapis rekurencyjny dla metody Newtona w postaci macierzowej.

Pochodna f’(x) jest macierzą Jakobiego

Przyjmując, że jest macierzą nieosobliwą możemy równanie liniowe przekształcić do postaci:

stąd przyjmując dowolną wartość otrzymujemy ciąg kolejnych przybliżeń pierwiastka równania uzyskanych metodą Newtona.

5. Metoda Eulera rozwiązywania równań różniczkowych I rzędu

Rozpatrzmy zadanie znalezienia funkcji y=y(t), które dla spełnia równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu:

(7)

oraz warunek początkowy y(a)=y0 (8...

sciaga kpwe, Szkoła, Politechnika 1- 5 sem, SEM IV, Komputeryzacja Projektowania w Elektronice. Wykład, Opracowania

Twoim problemem jest to, że powszechną NICOŚĆ mylisz z osobistą PUSTKĄ

Formularz