Twoim problemem jest to, że powszechną NICOŚĆ mylisz z osobistą PUSTKĄ
1.Interpretacja geometryczna pochodnej:
Pochodna funkcji f w punkcie X0 wyraża tanges kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji w punkcie (X0, f(x0)) do osi OX.
Podstawowe własności pochodnej:
-jeżeli funkcja f posiada pochodną w punkcie X0(jest różniczkowalna) to funkcja f jest w tym punkcie ciągła
-jeżeli funkcje f oraz f(x), g(x) są różniczkowalne w punkcie X0 to funkcje f(x)+g(x),f(x)-g(x) są różniczkowalne w punkcie X0 i zachodzą wzory.
Pochodna funkcji złożonej:
Jeżeli funkcja g jest różniczkowalna w punkcie X0 oraz funkcja f jest różniczkowalna w punkcie g(X0) to funkcja złożona f*g(x)=f*(g(x)) i zachodzi wzór.(wzór do sprawdzenia)
2.Ekstremum funkcji- mówimy, że funkcja f(x) posiada w punkcie x0 max U min lokalne jeśli istnieje takie sąsiedztwo punktu x0, że dla każdego x z tego sąsiedztwa spełniona jest nierówność f(x)≤f(x0).
MAX: Funkcja f(x) posiada w punkcie xo maximum lokalne <=> istnieje sąsiedztwo punktu xo takie, że dla każdego argumentu x z tego sąsiedztwa f(x)≤f(xo).
MIN: Funkcja f(x) posiada w punkcie xo minimum lokalne <=> istnieje sąsiedztwo punktu xo takie, że dla każdego argumentu x z tego sąsiedztwa f(x)≥f(xo).
Min i Max właściwe: wystarczy powyższe nierówności nieostre zastąpić nierównościami ostrymi.
Twierdzenie o warunku koniecznym: Jeżeli f(x) jest ciągła w punkcie xo i posiada w tym punkcie ekstremum to posiada w xo pochodną, która przyjmuje w nim wartości „0” lub nie posiada w xo pochodnej.
Twierdzenie o warunku dostatecznym: Jeżeli f(x) jest ciągła w xo i posiada w jego sąsiedztwie pochodną i pochodna ta w sąsiedztwie xo zmienia znak to w punkcie xo posiada ekstremum: +/- max; -/+ min
3.Całka nieoznaczona- jest to zbiór wszystkich pierwotnych funkcji f(x) na przedziale X i oznaczamy symbolem: ʃf(x)dx = F(x) + C
Całkowanie przez podstawianie- Jeżeli funkcja g(x) ma ciągłą pochodną w przedziale x i przekształca ten przedział na t, na którym określona jest ciągła funkcja f(t) to stosujemy wzór na całkowanie przez podstawianie ∫f(g(x))∙g’(x)dx = ∫f(t)dt t=g(x)
Całkowanie przez części- Jeżeli funkcja U(x) oraz V(x) mają ciągłe pochodne to prawdziwy jest wzór nazywany wzorem na całkowanie przez części: ʃ udv = uv -ʃ vdu.
Całka oznaczona- Jeżeli dla dowolnego ciągu normalnego podziałów przedziału <a,b> odpowiadający mu ciąg sum całkowych Riemanna dąży do tej samej granicy niezależnie od sposobów wyborów punktów to tą granicę nazywamy całką oznaczoną Riemanna funkcji f w przedziale <a,b> i oznaczamy symbolem a∫bf(x)dx a-dolna granica, b-górna granica
Funkcja pierwotna- funkcja F(x) funkcji f(x) w przedziale x <=>dla każdego x€X spełnia zależność F’(x)=f(x)
Jeżeli funkcja F(x) jest funkcją pierwotną f(x) to:
· F(x) + C jest również funkcją pierwotną funkcji f(x)
· każdą funkcję pierwotną G(x) można przedstawić G(x)=F(x) + Co
4. Macierz- macierzą o -m- wierszach i -n- kolumnach nazywamy funkcję -a-, która przyporządkowuje każdej parze liczb (i;j) gdzie i€ {1,2,…,m}, j€ {1,2,…,n}
Macierz diagonalna- to taka, która poza przekątną posiada same zera
Macierz jednostkowa- to macierz diagonalna, która ma przekątną z samych jedynek
Minor- Mij macierzy -a- nazywamy wyznacznik macierzy, który powstaje z macierzy -a- w wyniku usunięcia z niej i- tego wiersza i j- tej kolumny
Dopełnienie algebraiczne- Dij elementu aij macierzy -a- nazywamy iloczynem Dij = (-1)i+j∙Mij
Wyznacznik- jest to liczba przyporządkowana jednoznacznie macierzy kwadratowej. Liczymy tylko z macierzy kwadratowej.
Własnosci wyznaczników:
1. Jezeli jakikolwiek wiersz lub kolumna w macierzy składa się z samych zer, to wyznacznik jest
równy 0.
2. Wyznacznik macierzy jest równy wyznacznikowi macierzy transponowanej
3. Przestawienie dwóch wierszy w macierzy powoduje zmianę znaku wyznacznika
4. Macierz o dwóch takich samych lub proporcjonalnych, wierszach lub kolumnach ma wyznacznik
równy 0.
5. Wspólny czynnik wszystkich elementów danego wiersza można wynieść przed znak wyznacznika
Twierdzenie Laplace`a- wyznacznik macierzy kwadratowej jest równy sumie iloczynów elementów dowolnego wiersza (kolumny) i ich dopełnień algebraicznych
detA = ai1∙Di1 + ai2∙Di2 +…+ ain∙Din
detA = a1j∙D1j + a2j∙D2j +…+ amj∙Dmj
Rząd macierzy- nazywamy maksymalną ilość liniowo niezależnych wierszy lub kolumn tej macierzy rzAm∙n ≤ min(m,n)
Rząd macierzy nie ulegnie zmianie gdy:
1. kolumnę (wiersz) pomnozymy przez stałą,
2. zamienimy miejscami kolumny (wiersze),
3. do jednej kolumny (jednego wiersza) dodamy kombinację liniową innych kolumn (innych wierszy).
Macierz odwrotna- do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz, którą oznaczamy A-1 taką, że: A∙ A-1 = A-1∙A = I jednostkowa;
Mamy następujące metody odwracania macierzy:
1. Metoda przekształceń elementarnych
Dokonujemy identycznych przekształceń elementarnych na wierszach macierzy A i macierzy jed-
nostkowej I do momentu, az macierz A przekształcimy do macierzy jednostkowej. Macierz
otrzymana po przekształceniach z macierzy jednostkowej I to macierz A_1:
2. Metoda dopełnien algebraicznych
Korzystamy bezposrednio z wzoru (1).
Twierdzenie Cramera- jeżeli macierz A jest macierzą nieosobliwą to ukł. równań Ax=b posiada dokładnie jedno rozwiązanie wyrażone wzorami:
X1=
detA…
Układ Cramera- Metoda I- układ równań liniowych Ax = b nazywamy układem Cramera <=> 1° ilość równań w układzie jest równa ilości niewiadomych; 2° wyznacznik macierzy A tego układu jest różny od zera x = A-1∙b;
Metoda II- jeżeli układ równań liniowych jest układem Cramera to posiada rozwiązanie wyznaczone wzorami nazywanym wzorami Cramera
detAj jest to wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez zastąpienie j- tej kolumny wektorem -b-.
Twierdzenie Kroneckera-Capellego- układ równań liniowych nie jest układem sprzecznym <=> rzA = rzU tego układu przy czym jeżeli rzA = rzU = n (ilość niewiadomych) to układ jest oznaczony. Jeżeli rzA = rzU < n to układ jest nieoznaczony. Układ sprzeczny, gdy rzA ≠ r.
Metoda Gaussa-Jordana- Metoda operacji elementarnych rozwiązywania układów równań, która polega na: zapisaniu macierzy uzupełnionej układu; przeprowadzeniu operacji elementarnych na macierzy uzupełnionej w celu sprowadzenia jej do postaci bazowej, odczytanie rozwiązań.
5.Ekstrema bezwarunkowe funkcji dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych- jeżeli ta granica istnieje i jest właściwa to nazywana jest pochodną cząstkową funkcji f względem argumentu x w punkcie Po.
Twierdzenie o warunku koniecznym funkcji 2 zmiennych- Jeżeli funkcja f(x,y) posiada w Po ekstremum i posiada w tym punkcie pochodne cząstkowe rzędu pierwszego to przyjmują one wartości równe zero.
Twierdzenie o warunku dostatecznym funkcji 2 zmiennych- Jeżeli funkcja f(x,y) posiada w otoczeniu punktu stacjonarnego Po ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego to:
1° posiada w Po ekstremum, gdy W(Po) > 0
2° nie posiada w Po ekstremum, gdy W(Po) < 0
3° przypadek, gdy W(Po) = 0 jest przypadkiem nierozstrzygniętym.
Funkcja Lagrange`a- nazywamy funkcję taką, gdzie lambda jest tzw. Mnożnikiem Lagrange’a f(x,y) jest funkcjąw której szukamy ekstremum, a g(x,y) jest warunkiem nałożonym na tą funkcje.
F(x; y) = f(x; y) + λg(x; y);
Twierdzenie o warunku koniecznym ekstremum warunkowego- warunkiem koniecznym na to by w Po = (xo,yo) funkcja f(x,y) posiadała ekstremum warunkowe przy warunku g(x,y)=0 jest spełnienie następującego układu równań.
Twierdzenie o warunku dostatecznym ekstremum warunkowego- jeżeli w Po funkcja f(x,y) posiada ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu II włącznie, a funkcja g(x,y) pochodną rzędu I to w Po funkcja posiada max warunkowe gdy wyznacznik >0, a min, gdy <0.
...