Twoim problemem jest to, że powszechną NICOŚĆ mylisz z osobistą PUSTKĄ
1
-ciała
Definicja1.1(
-ciało)
-ciałem(-algebr¡)wdanymzbiorzeX(zwanymprzestrze-
ni¡)nazywamyrodzin¦
M
pewnychpodzbiorówzbioruX,spełniaj¡c¡trzywarunki:
1
o
;2
M
;
2
o
je±liA
2
M
,toX
\
A
2
M
;
3
o
je±liA
n
2
M
dlaka»degon
2
N
,to
S
n
2
N
A
n
2
M
.
Rodzin¦spełniaj¡c¡trzeciwarunektylkodlasumysko«czonejnazywamyciałem(algebr¡)w
zbiorzeX.
Zpowy»szychwarunkówwynikaj¡łatwonast¦puj¡cewłasno±ci
-ciałaM:
•
X
2
M
•
je±li
J
jestconajwy»ejprzeliczalnymzbiorem,oraz
A
j
2
Mdlaka»dego
j
2
J
,to:
a)
S
j
2
J
A
j
2
M;
b)
T
j
2
J
A
j
2
M
tzn.sumaiprzeci¦cieconajwy»ejprzeliczalnejrodzinyzbiorównale»¡cychdo
-ciała
M,nale»¡doM;
•
je±li
A,B
2
M,to
A
\
B
2
M.
Definicja1.2
Je±li
M
jest-ciałemwzbiorzeX,topar¦
(
X,
M)
nazywamyprzestrzeni¡
mierzaln¡.
Przykłady:
1.Rodzinawszystkichpodzbiorówzbioru
X
jest
-ciałemw
X
.
2.RodzinaM=
{;
,X
}
jest
-ciałemwzbiorze
X
.
3.Je±li
E
jestustalonympodzbioremzbioru
X
,torodzinaM=
{;
,X,E,X
\
E
}
jest
-
ciałemwzbiorze
X
.
4.Niech(
X,
)b¦dzieprzestrzeni¡mierzaln¡orazniechdaneb¦dzieodwzorowanie
f
:
X
7−!
Y
,gdzie
Y
-dowolnyzbiór.WówczasrodzinaN=
{
B
Y
:
f
−
1
(
B
)
2
M
}
jest
-ciałem
w
Y
.
Stwierdzenie1.1
Cz¦±¢wspólnarodziny-ciałwXjest-ciałemwX.
Powy»szestwierdzenieuprawnianasdowprowadzenianast¦puj¡cegopoj¦cia:
Definicja1.3
Niech
R
-pewnarodzinapodzbiorówprzestrzeniX.-ciałemgenerowanym
przez
R
wXnazywamycz¦±¢wspóln¡wszystkich-ciałwXzawieraj¡cych
R
ioznaczamy
(
R
)
.
(
R
)
bywanazywanerównie»najmniejszym-ciałemwXzawieraj¡cymrodzin¦
R
.
1
Uwaga:istnienie
(
R
)wynikazPrzykładu1.
Definicja1.4(zbioryborelowskie)
Zbioramiborelowskimiwzgl¦demdanejprzestrzenime-
trycznejXnazywamyzbiorynale»¡cedo-ciaławXgenerowanegoprzezrodzin¦
G(
X
)
-wszystkichzbiorówotwartychwX.Rodzin¦wszystkichzbiorówborelowskichwzgl¦demX
oznaczamy
B
(
X
)
.
2Miara
Definicja2.1
Niech
(
X,
M)
-przestrze«mierzalna.Miar¡na-ciele
M
nazywamyfunkcj¦
µ
:M
7−!
¯
R
+
(czylifunkcj¦,któraka»demuzbiorowiAz-ciała
M
przyporz¡dkowujeliczb¦
nieujemn¡µ
(
A
)
sko«czon¡,lubrówn¡
+
1
)spełniaj¡c¡dwawarunki:
1
o
µ
(
;
)=0
(miarazbiorupustegorównasi¦0);
2
o
µ
(
S
n
2
N
A
n
)=
P
n
2
N
µ
(
A
n
)
dlaka»degoci¡guzbiorówA
n
2
M
paramirozł¡cznych(miara
sumyci¡guzbiorówparamirozł¡cznychrównasi¦sumieichmiar).
Własno±¢2
o
nazywamy
przeliczaln¡addytywno±ci¡funkcjizbioruµ
.
Je±li
µ
jestmiar¡na
-cieleMw
X
,totrójk¦(
X,
M
,µ
)nazywamyprzestrzeni¡zmiar¡.
Je±li
A
2
Mi
µ
(
A
)=0tomówimy,»ezbiór
Ajestmiaryµzero
.
Je±li
A
2
Mi
µ
(
A
)
<
+
1
tomówimy,»ezbiór
Ajestmiaryµsko«czonej
.
Miara
µ
na
-cieleMw
X
nazywasi¦:
-
sko«czona
,je±li
µ
(
X
)
<
+
1
;
-
unormowana
lub
probabilistyczna
,je±li
µ
(
X
)=1;
-
półsko«czona
lub
-sko«czona
,je±liprzestrze«
X
dajesi¦przedstawi¢wpostacisumy
przeliczalnejrodzinyzbiorówmiary
µ
sko«czonej;
-
zupełna
,je±lizwarunku
A
B,B
2
M
,µ
(
B
)=0wynika,»e
A
2
M(tzn.ka»dypodzbiór
zbiorumiaryzeronale»ydoM).
Stwierdzenie2.1
Niechµb¦dziemiar¡na-ciele
M
.Wówczas:
(i)je±liJjestzbioremconajwy»ejprzeliczalnym,oraz
{
A
j
:
j
2
J
}
-rodzin¡zbiorów
paramirozł¡cznychnale»¡cychdo
M
,to
0
@
[
j
2
J
1
A
=
X
j
2
J
µ
A
j
µ
(
A
j
);
(ii)je±lizbiórAjestmiaryµsko«czonej,A
B,B
2
M
,to
µ
(
B
\
A
)=
µ
(
B
)
−
µ
(
A
);
(iii)je±liA
B(A,B
2
M
),toµ
(
A
)
¬
µ
(
B
)
(tzw.monotoniczno±¢funkcjizbioruµ.)
2
(iv)je±liJjestzbioremconajwy»ejprzeliczalnym,oraz
{
A
j
:
j
2
J
}
-rodzin¡zbiorów
nale»¡cychdo
M
,to
0
@
[
j
2
J
1
A
¬
X
j
2
J
µ
A
j
µ
(
A
j
);
(v)sumaprzeliczalnejrodzinyzbiorówmiaryµzerojestzbioremmiaryµzero;
(vi)je±liA
n
%
A,
(
A
n
M)
,toµ
(
A
n
)
%
µ
(
A
)
;
(vii)je±liA
n
&
A,
(
A
n
M)
,toµ
(
A
n
)
&
µ
(
A
)
,przydodatkowymzało»eniu,»ezbiórA
1
jest
miaryµsko«czonej;
Definicja2.2(miarazewn¦trzna)
Miar¡zewn¦trzn¡wzbiorzeXnazywamyfunkcj¦zbioru
µ
owarto±ciachw
¯
R
+
,okre±lon¡naklasiewszystkichpodzbiorówzbioruX,spełniaj¡c¡trzy
warunki:
1
o
µ
(
;
)=0
;
2
o
je±liA
B
X,toµ
(
A
)
¬
µ
(
B
)
(monotoniczno±¢);
3
o
µ
(
S
n
2
N
A
n
)
¬
P
n
2
N
µ
(
A
n
)
dlaka»degoci¡guA
n
podzbiorówzbioruX(przeliczalnapo-
daddytywno±¢).
Zwłasno±citychwynika,»e
µ
(
S
j
2
J
A
j
)
¬
P
j
2
J
P
µ
(
A
j
)dlaka»dejrodziny
{
A
j
:
j
2
J
}
podzbiorówzbioru
X
,gdzie
J
-conajwy»ejprzeliczalnyzbiórindeksów.Wszczególno±ci
je±li
µ
(
A
j
)=0dla
j
2
J
,to
µ
(
S
j
2
J
A
j
)=0.
Uwaga:Ka»damiarajestmiar¡zewn¦trzn¡.Je±limiarazewn¦trznajestsko«czenieaddy-
tywnatojestmiar¡.
Definicja2.3
Niechµ
b¦dziemiar¡zewn¦trzn¡wX.Mówimy,»ezbiórA
Xspełnia
warunekCaratheodory’egowzgl¦demµ
,je±li:
(Car)
µ
(
W
[
Z
)=
µ
(
W
)+
µ
(
Z
)
dladowolnychzbiorówW,Ztakich,»eW
A,Z
X
\
A(zbiórWjest”wewn¦trzny”aZ
”zewn¦trzny”wstosunkudoA).
Uwaga:wystarczy»¡da¢byzachodziło”
”.
Twierdzenie2.1(Caratheodory’ego)
Je±liµ
jestmiarazewn¦trzn¡wzbiorzeXoraz
M
oznaczarodzin¦wszystkichpodzbiorówzbioruXspełniaj¡cychwarunek(Car),to:
a)
M
jest-ciałemwX;
b)je±liµ
(
A
)=0
,toA
2
M
;
c)miarazewn¦trznaµ
zaw¦»onado
M
jestmiar¡,miaratajestzupełna.
Dowód:
3
k
nazywamyzbiórP
R
k
postaci:
Definicja2.4
Przedziałemw
R
P
=
P
1
×
...
×
P
k
gdzieP
i
s¡przedziałamijednowymiarowymi.Obj¦to±ci¡przedziałuk-wymiarowegonazy-
wamyiloczyndługo±ciprzedziałówjednowymiarowychokre±laj¡cychtenprzedział:
|
P
|
=
|
P
1
|·
...
·|
P
k
|
.
Definicja2.5
Powiemy,»erodzinaprzedziałówP
j
jestpokryciemzbioruAje±liA
S
i
2
J
P
j
.
Definicja2.6(k-wymiarowamiarazewn¦trznaLebesgue’a)
Kwymiarow¡miar¡ze-
wn¦trzn¡Lebesgue’azbioruA
R
k
okre±lamy:
8
<
9
=
;
.
X
k
,A
[
n
2
N
l
k
(
A
)=inf
|
P
n
|
:
P
n
−
przedziaływ
R
P
n
:
n
2
N
Twierdzenie2.2
Powy»ejokre±lonak-wymiarowamiarazewn¦trznaLebesgue’ajestmiar¡
zewn¦trzn¡.
Twierdzenie2.3
Miarazewn¦trznaLebesgue’adowolnegoprzedziałuk-wymiarowegorówna
si¦jegoobj¦to±ci.
Zbioryomierzezewn¦trznejLebesgue’arównejzeronazywamyzbioramimiaryzero.
Przykłady:
1.Zbiórpustyjestmiaryzero.
2.Ka»dyzbiórprzeliczalnyjestmiaryzero(bozbioryjednopunktowes¡miaryzero).
3.Ka»dyprzedziałzdegenerowanyw
R
k
jestzbioremmiaryzero,cowynikazdefinicjiobj¦-
to±ciprzedziałuzdegenerowanegoidefinicjimiaryLebesgue’a.
2
jestmiary0.
4.Je±lijedenzezbiorów
A
,
B
R
jestmiaryzeroto
A
×
B
R
Przez
L
(
R
k
generowaneprzezrodzin¦wszystkich
k-wymiarowychprzedziałówirodzin¦wszystkichpodzbiorów
R
k
)oznaczamy
-ciałowprzestrzeni
R
k
miaryzero.
-ciało
L
(
R
k
)
k
mierzalnychwsensieLebesgue’a.Zbiorynale-
nazywamyklas¡podzbiorówprzestrzeni
R
k
)nazywamyzbioramimierzalnymi(wsensieLebesgue’a).Przez
l
k
oznaczamy
zaw¦»eniemiaryzewn¦trznejLebesgue’a
l
k
do
-ciała
L
(
R
k
)zbiorówmierzalnych.
»¡cedo
L
(
R
k
orazwszystkiejejpod-
Twierdzenie2.4
a)Wszystkiepodzbiorymiaryzeroprzestrzeni
R
k
)
);
zbioryborelowskies¡mierzalne(tzn.nale»¡do
L
(
R
k
)
;
b)l
k
jestmiar¡na-ciele
L
(
R
c)miaral
k
jestzupełnai-sko«czona.
Twierdzenie2.5
Iloczynkartezja«skizbiorówmierzalnychjestzbioremmierzalnym.
4
Zadaniarozwa»anenawykładzie:
1.Podajposta¢
-ciaławzbiorze
X
=
{
a,b,c,d
}
generowanegoprzezrodzin¦zbiorów
R
=
{{
a
}
,
{
b
}}
.
k
.Danejestodwzorowanief
:
G
!
R
n
,k<n,fjest
2.
Twierdzenie2.6
NiechG
R
klasyC
1
.Wówczasl
n
(
f
(
g
))=0
.
Korzystaj¡cztegotwierdzeniapokazali±my,»e
l
2
(
S
1
)=0,
gdzie
S
1
=
{
(
x
1
,x
2
)
2
R
2
:
x
2
1
+
x
2
2
=1
}
-okr¡gjednostkowy.Zastosowali±mypowy»sze
twierdzeniedoodwzorowania
f
(
'
)=(cos
',
sin
'
).
5