Twoim problemem jest to, że powszechną NICOŚĆ mylisz z osobistą PUSTKĄ
Macierz jest to tablica składająca sie z liczb albo z funkcji.
a
m1
a
mn
m – ilosc wierszy, n – ilosc kolumn
macierz liniowa
0
0
0
macierz funkcyjna
1 1−
x
Jeżeli macierzy określimy pewną liczbę kolumn i pewną liczbe wierszy to z takiej macierzy
prostokątnej utworzymy macierz kwadratową.
def.
A
nn
=
a
nn
a
1
n
a
n1
a
nn
Rząd macierzy – mówimy że macierz A jest rzędu r = r(a) = R(A) jeżeli istnieje minor stopnia r
(nie równy zero) a wszystkie minory stopnia r+1 równają sie zero lub nie istnieją to macierz A jest
rzędu R.
det = wyznacznik
det
a
11
a
12
a
21
a
22
=
a
11
∗
a
22
−
a
21
∗
a
12
Metoda Sarrusa
A
=
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
=
a
11
∗
a
22
∗
a
31
a
21
a
32
∗
a
13
a
31
a
12
∗
a
23
−
a
13
∗
a
22
∗
a
31
−
a
23
∗
a
32
∗
a
11
−
a
33
∗
a
12
∗
a
21
Metoda Laplaca
Wybiera sie dowolny wiersz, dowolną kolumnę i rozwija względem tego dowolnego wiersza lub
dowolnej kolumny
A
=
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
=
a
12
∗
a
12
∗
a
21
a
23
a
31
a
33
a
22
∗
a
22
∗
a
11
a
13
a
31
a
33
a
32
∗
a
32
∗
a
11
a
13
a
21
a
23
Jeżeli w wyznaczniku przestawimy wiersze na miejsce kolumn nie zmieniając ich kolejności to
wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie
Jeżeli w wyznaczniku przestawimy dwa wiersze na dwi kolumny to wartość wyznacznika zmieni
znak na przeciwny.
a
11
a
1
n
x
2
x
tan
y
=
A
22
Jeżeli wszystkie elementy danego wiersza bądź kolumny pomnożymy przez liczbe k, to wartość
wyznacznika zostanie pomnożona przez liczbe k.
A
nn
=
ka
11
ka
12
=
k
∗
a
11
∗
a
22
−
k
∗
a
12
∗
a
21
=
k
∗
a
11
∗
a
22
−
a
12
∗
a
21
Jeżeli w wyznaczniku będzi dowolna kolumna bądź dowolny wiersz zawierający same zera to
wyznacznik będzie równy zeru.
Jeżeli w wyznaczniku kolumna (lub wiersz) bedzie proporcjonalny do wiersza (lub kolumny) to
wyznacznik równa się zero.
Jeżeli do elementu dowolnego wiersz (lub kolmny) wyznacznika dodam (lub odejmę) element
innego wiersza i pomnoże przez dowolną liczbę k to wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie
W
1
k
∗
W
2
=
a
11
k
∗
a
21
a
12
k
∗
a
22
a
21
a
22
Macierz jest rzędu R gdy istnieje minor stopnia niezerowego.
Mnożenie macierzy.
A
mn
∗
B
nk
=
C
mk
Element
C
ij
−
oty
nakładający się w i-tym wierszu i j-tej kolumnie jest sumą iloczynów elementów
i-tego wiersza macierzy A i j-tej kolumny macierzy B. Mnożymy więc pierwszy element i-tego
wiersza macierzy A przez pierwszy element j-tej kolumny macierzy B. Dodajemy iloczny drugich
(itd.) elementów i-tego wiersza i j-tej kolumny
Mnożenie dwóch acierzy nie jest przemienne, a nawet jeśli to wynik nie jest taki sam.
Zachodzi łącznmość macierzy pod warunekiem że mnożenie jest wykonalne
(A*B)*C=A(B*C)
Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania (lub odejmowania) macierzy
A
∓
B
∗
C
=
A
∗
C
∓
B
∗
C
Twierdzenie Cauchiego
det (A*B) = det A * det B
Wyznacznik z iloczynu jest równy iloczynowi wyznaczników tych macierzy
Niezmiennikiem mnożenia macierzy jest macierz jednoskowa
A * I = A
I * A = A
Iloczyn dwóch macierzy z której jedna jest macierzą zerową równa się zero.
A * 0 = 0
0 * A = 0
a
21
a
22
TYPY MACIERZY:
–
macierz osobliwa – taka macierz kwadratowa z której wyznacznik równa się zero
A
=
1 2
2 4
gdzieW
≠0
–
macierz symetryczna – taka w której elementy
a
ij
[a=j i,j należą do N] (leżące na głównej
przekątnej macierzy) są równe. Macierz symetryczną nazywamy macierz której elementy
spełniają następującą zależność
a
ij
=
a
ji
0 2 3
2 0 4
3 4 0
–
macierz skośnie symetryczna – nazywamy taką macierz w ktrórej elementy leżące wzdłóż
głównje przekątnej różnią się od siebie znakiem
a
ij
=−
a
ji
A
=
0 2−3
−2 0 4
3−4 0
–
macierz diagonalna – macierz w której na głównej przekątnej znajdują sie dowlone elementy,
natomiast reszta elementów to zera
1 0 0
0 2 0
0 0 3
–
macierz skalarna to taka macierz gdzie:
a
ij
=
0
dlai
≠
j
A
=
adlai
=
j
4 0 0
0 4 0
0 0 4
–
macierz jednostkowa – taka w ktorej na głównej przekątnej znajdują sie jedynki a reszta to zera,
wyznacznik z takiej macierzy równa sie 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
–
macierz transponowana (czyli przestawna)
A
T
A
=
2 5
3 6
transponowanie – zamiana wierszy z kolumnami
Jeżeli macierz A jest macierzą symetryczną to
A
=
A
T
a dla skośnie symetrycznej
A
=−
A
T
Jeśli macierz A jest macierzą kwadratową to wyznacznik macierzy A równa sie wyznacznik
macierzy transponowanej: det A = det
A
T
–
macierz dołączona – transponowana do pełni algebraicznej
A
D
=
A
T
k
=
A
k
T
A
−1
=
1
detA
∗
A
D
T
–
macierz odwrotna z macierzy kwadratowej
[A|I]=[I|
A
−1
]
–
macierz ortodonalna
A
'
∗
'
- macierz kwadratową będziemy nazywać ortodonalną wtedy gdy
odwrotna do niej macierz równa się macierzy transponowanej
A
−1
=
A
T
2 4
gdzieW
=0
–
macierz nieosobliwa w której wyznacznik nie równa się zero
A
=
1 3
A
=
A
=
A
1 2 3
4 5 6
=
A
T
1 4
jeśli macierz jest ortodonalna zachodzą następujące zależności:
A
∗
A
T
=
A
∗
A
−1
=
I
Własności macierzy ortodonalnych:
●
suma kwadratów wszystkich elementów danego wiersza/kolumny równa się 1
●
suma iloczynów wszystkich elementów dwóch różnych wierszy, oraz dwóch kolumn równa
się zeru
●
det A = det
A
T
= det I
Równanie pierwszego stopnia względem zmiennej Lambda nazywamy równaniem
charakterystycznym (wiekowym) macierzy A. Pierwiastki tego równania charakterystycznego
nazywamy wartościami własnymi macierzy A.
Twierdzenie Calye-Hamiltona:
dowolna macierz kwadratowa jest pierwiastkiem swe3go równania charakterystycznego