Twoim problemem jest to, że powszechną NICOŚĆ mylisz z osobistą PUSTKĄ
PRĘDKOŚĆ
Kiedy przyrost czasu zdąża do zera, nasz iloraz różnicowy (13) przechodzi w pochodną wektora położenia względem czasu.
Pochodna wektora położenia względem czasu w zadanej chwili nazywa się prędkością chwilową ciała
.
Z matematyki wiemy, że pochodna wyznaczona jest przez styczną do funkcji w danym punkcie. Naszą funkcją jest położenie ciała, a zmiana tego położenia w czasie wyznacza tor ciała w przestrzeni. Oznacza to, że wektor prędkości chwilowej pokrywa się ze styczną do toru w danym punkcie a jego zwrot wyznaczony jest przez znak przyrostu wektora położenia.
wcześniej wektor prędkości w układzie współrzędnych prostokątnych możemy zapisać jako.
(2.16)
gdzie składowe prędkości wynoszą
(2.17)
Forma tego zapisu jest analogiczna do zapisu wektora położenia, tylko wartości współrzędnych zastąpiliśmy wartościami składowych wektora prędkości.
Wartość bezwzględną wektora prędkości wyrażoną przez jej składowe w układzie kartezjańskim zapiszemy analogicznie do wzoru (2)
(2.18)
Zapiszmy teraz wektor prędkości w układzie współrzędnych biegunowych. Definicja tego układu podana jest wyżej.
(2.19)
Wartość bezwzględną wektora prędkości wyrażona przez jej składowe w układzie biegunowym ma postać:
PRZEMIESZCZENIE I DROGA
Zmiana położenia w czasie:
Przemieszczenie w skończonym odcinku czasu: Droga przebyta w czasie t:
Jeżeli prędkość nie zmienia się, to s=Vt
PRZYSPIESZENIE I JEGO SKŁADOWE
Przyspieszenie to zmiana prędkości w funkcji czasu. Przyspieszenie jest więc pochodną wektora prędkości względem czasu, a co za tym idzie - drugą pochodną względem czasu wektora położenia. W układzie współrzędnych prostokątnych zapiszemy to w następujący sposób.
Zmiana wektora prędkości może dotyczyć zarówno bezwzględnej wartości jak i kierunku. Pamiętając, że wektor prędkości jest zawsze styczny do toru poruszającego się ciała możemy wydzielić jego wartość bezwzględną oraz jego kierunek w postaci zapisu
gdzie u jest wartością bezwzględną
prędkości, a jest wersorem stycznym do toru w danym punkcie. Wektor przyspieszenia możemy więc zapisać w formie
przyspieszenie w postaci dwóch prostopadłych do siebie składowych:
Pierwsza skierowana zawsze zgodnie z aktualnym kierunkiem wektora prędkości, czyli styczna do toru w danym punkcie, nosi nazwę składowej stycznej , druga - skierowana do środka okręgu określającego aktualny promień krzywizny toru nosi nazwę składowej normalnej przyspieszenia i nazywana jest też przyspieszeniem dośrodkowym.
ZASADY DYNAMIKI
I zas.dyn. – jeżeli na iało nie są wywierane siły lub siły działające się równoważą, to stan ruchu ciała nie ulega zmianie – ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym
- układ odniesienia w którym spełniona jest I zas.dyn. to układ inercjalny
- każdy układ poruszający się względem układu inercjalnego z prędkością o stałej wartości i kierunku jest też układem inercjalnym
- stan spoczynku i stan ruchu jednostajnego prostoliniowego są rónoważne z punktu widzenia zasad dynamiki
II zas.dyn. – zmiana pędu ciała jest proporcjonalna do siły działającej na to ciało i zachodzi wzdłuż kierunku jej działania
- pęd ciała – iloczyn wektora prędkości ciała i jego masy
- Pęd układu punktów materialnych stanowi wektorową sumę pędów wszystkich punktów wchodzących w jego skład:
- Zmianę pędu w czasie wyrażamy jako pochodną pędu względem czasu otrzymując wzór wyrażający ilościowo drugą zasadę dynamiki
Jeśli przyjmiemy, że masa ciała podczas ruchu pozostaje stała, to:
Mówimy, że masa jest miarą bezwładności ciała czyli "oporu" jaki ciało stawia sile, która zmienia stan jego ruchu.
Masa i ciężar ciała to nie to samo. Masa, która jest własnością danego ciała zwana jest też masą bezwładną w odróżnieniu od ciężaru ciała, który jest różny na Ziemi, na Księżycu lub w statku kosmicznym. Masa bezwładna jest współczynnikiem proporcjonalności w równaniu (3.10a). Ciężar ciała będący siłą jaka działa na ciało wskutek przyciągania grawitacyjnego, jest proporcjonalny do jego masy bezwładnej. Ciężar ciała możemy wyrazić za pomocą równania (3.10a) jako
gdzie ciężar jest po prostu siłą grawitacji działającą na ciało o masie znajdujące się w polu grawitacyjnym Ziemi, a jest wektorem przyspieszenia jakie uzyskuje ciało spadające swobodnie pod wpływem siły ciężkości w danym miejscu. Przyspieszenie zwane jest przyspieszeniem ziemskim i nie zależy od własności spadających przedmiotów, ale od masy Ziemi i odległości danego ciała od środka jej masy. Dlatego też inna jest wartość tego przyspieszenia na biegunie, inna na równiku, bowiem Ziemia nie jest idealną kulą; inna jest także nad powierzchnią Ziemi.
III zas.dyn – Oddziaływania wzajemne 2 ciał są zawsze równe co do wartości, ale przeciwnie skierowane.
Jeżeli ciało A działa na ciało B daną siłą, to ciało B działa na ciało A taką samą siłą, ale przeciwnie zwróconą.
RÓWNANIA NEWTONA
Wektory występujące w tym równaniu mają w przestrzeni trójwymiarowej po trzy składowe, które w układzie współrzędnych prostokątnych odpowiadają kierunkom osi układu. To równanie wektorowe w rozpisaniu na składowe w danym układzie odniesienia ma postać układu trzech równań skalarnych zwanych równaniami Newtona.
Jest to układ równań różniczkowych drugiego rzędu. Równania te są podstawowymi równaniami dynamiki. Wiążą one przyczynę (siła) z jej skutkiem (ruch).
ROLA SIŁ TARCIA
Kiedy działamy na ciało siłą , pojawiająca się siła tarcia skierowana jest w przeciwną stronę i przeciwdziała ruchowi. W rezultacie ciało pozostaje w spoczynku. Siła tarcia ma jednak pewną wartość graniczną, zwaną siłą tarcia statycznego. Warunek pozostawania ciała w spoczynku możemy więc zapisać w postaci :
Jeśli siła będzie większa od , ciało zacznie się poruszać ruchem jednostajnie przyspieszonym, ale przyspieszenie to będzie jednak mniejsze niż w przypadku działania tylko siły , bowiem siła tarcia, zwana siłą tarcia kinetycznego , będzie przeciwdziałać ruchowi. Zależności te możemy zapisać następująco:
Wartość siły tarcia jest proporcjonalna do siły nacisku działającej prostopadle do powierzchni i zależna jest także od własności trących się materiałów. Zapiszemy to w postaci:
gdzie współczynnik proporcjonalności m, zwany jest współczynnikiem tarcia - statycznego lub kinetycznego, (w przypadku ruchu ciała).
. Kąt nachylenia, przy którym ciało zacznie się zsuwać odpowiada wartości granicznej siły tarcia statycznego. Siła ta jest równa składowej siły ciężkości stycznej do powierzchni równi.
Równocześnie, siła tarcia może być wyrażona z pomocą współczynnika tarcia, co można zapisać w postaci:
Współczynik tarcia:
PRACA
Praca stałej siły przy przemieszczeniu ciała o odcinek określona jest jako iloczyn skalarny:
gdzie a jest kątem pomiędzy kierunkiem działania siły, a kierunkiem przemieszczenia. Kiedy kąt ten jest kątem ostrym, praca ma wartość dodatnią, kiedy rozwartym - ujemną; kiedy wynosi 900, praca wynosi zero. Siła, której kierunek jest przeciwny do kierunku ruchu wykonuje pracę ujemną.
Pracę na torze pomiędzy punktami A i B możemy wyznaczyć przez sumowanie elementarnych przyczynków na odcinkach toru o długościach dążących do zera.
Przemieszczenie może być zamienione iloczynem , gdzie jest wektorem prędkości chwilowej, możemy pracę wykonaną w przedziale czasu od do wyrazić jako:
Jednostką pracy w układzie SI jest jeden dżul – 1J.
MOC
Szybkość wykonywania pracy przez daną siłę charakteryzuje moc, którą wyrażamy jako stosunek pracy do przedziału czasu , w którym praca ta została wykonana.
Jednostką mocy w układzie SI jest jeden wat – 1W
SIŁY ZACHOWAWCZE
Wektor siły ciężkości, pokazany kolorem czerwonym, ma kierunek pionowy, a jego wartość wynosi . Na pierwszym odcinku toru zaznaczono elementarne przemieszczenie oraz kąt, jaki tworzy ono z kierunkiem siły ciężkości. możemy wyznaczyć wartość pracy wykonanej przez siłę ciężkości na tym odcinku. Praca ta jest niezależna od kąta nachylenia stoku i wynosi:
Na odcinku 3-4 wartość pracy będzie taka sama, ale znak będzie dodatni. W przypadku ruchu po poziomej części toru siła ciążenia nie wykonuje żadnej pracy, bowiem kierunek ruchu jest prostopadły do kierunku siły. Sumaryczna praca wyniesie więc
Praca siły grawitacji po torze zamkniętym jest równa zeru.
Z faktu zerowania się pracy na torze zamkniętym wynika inny ważny wniosek. Praca potrzebna na przemieszenie ciała pod wpływem siły ciężkości pomiędzy dwoma dowolnymi punktami nie zależy od kształtu drogi a jedynie od położenia samych punktów.
Jeśli praca wykonana przez siłę przy przemieszczeniu ciała po torze zamkniętym o dowolnym kształcie równa jest zeru, to siłę taką nazywamy siłą siłą zachowawczą. Siłę, która nie spełnia tego warunku nazywamy siłą dyssypatywną lub rozpraszającą.
Przykładem siły zachowawczej jest siła ciążenia, oraz znana nam już siła sprężystości. Do sił dyssypatywnych zaliczamy siły tarcia i siły oporu powietrza.
ENERGIA POTENCJALNA
Energia potencjalna ciała w danym punkcie, względem określonego punktu odniesienia, równa jest pracy jaką wykonują siły zachowawcze przy przemieszczeniu ciała z danego punktu do punktu odniesienia.
- energia potencjalna w punkcie o wysokości h względem punktu odniesienia wynosi: E=mgh
-związek pomiędzy pracą wykonaną przez siły zachowawcze a wartościami energii potencjalnych w zadanych punktach na torze oraz przyrostem energii potencjalnej możemy zapisać w postaci:
Wartość i znak pracy siły zachowawczej przy przesunięciu ciała pomiędzy dwoma dowolnymi punktami określają ubytek energii potencjalnej ciała przy tym przesunięciu, tzn. wziętą ze znakiem minus różnicę energii potencjalnej w punkcie końcowym i początkowym.
ENERGIA KINETYCZNA
Energię kinetyczną ciała określimy za pomocą pojęcia pracy
Energia kinetyczna ciała o masie m i prędkości v:
Związek pomiędzy pracą wykonaną nad danym ciałem, a zmianą jego energii kinetycznej możemy więc zapisać w postaci:
Jeśli pracę nad ciałem wykonuje nie jedna, a wiele sił, to zmiana jego energii kinetycznej równa jest pracy wykonanej przez ich siłę wypadkową.
PRAWO ZACHOWANIA ENERGII
Suma energii potencjalnej i kinetycznej dla punktów A i B na drodze poruszającego się ciała jest taka samaOznacza to, że suma obu rodzajów energii, stanowiąca całkowitą energię mechaniczną ciała, pozostaje stała, kiedy ciało porusza się pod działaniem sił zachowawczych, czyli
Całkowita energia mechaniczna ciała, na które działają tylko siły zachowawcze, jest stała.
Kiedy na ciało działają siły dyssypatywne zasada zachowania energii mechanicznej nie jest spełniona. Siły te zmieniają energię mechaniczną ciała.
PRAWO ZACHOWANIA PĘDU
Jeżeli to
Jeżeli na układ nie działają siły zewnętrzne lub działa układ siła zrównoważonych, to pęd układu zachowuje wartość stałą.
Pęd układu nie może być zamieniony na coś innego, w odróżnieniu od energii mechanicznej, która może ulec zamianie na inne rodzaje energii. Zasada zachowania pędu obowiązuje więc także w procesach, w których naruszona jest zasada zachowania energii mechanicznej.
ZDERZENIA CIAŁ
Zderzenie, to proces w którym na uczestniczące w nim ciała działają wielkie siły, ale w stosunkowo krótkim czasie.
Jeżeli podczas zderzenia zachowana jest energia kinetyczna, to zderzenie takie nazywamy zderzeniem sprężystym, jeżeli zachowana nie jest - zderzeniem niesprężysty. Jeśli przed zderzeniem ciała poruszały się wzdłuż jednej prostej, to ich zderzenie nazywamy centralnym , jeśli wzdłuż prostych nie pokrywających się, to zderzenie nazywamy niecentralnym lub peryferycznym.
Prędkość zbliżania się kul przed zderzeniem równa jest prędkości ich oddalania się po zderzeniu czyli ich prędkości względne przed i po zderzeniu są takie same.
Prędkości kul po zderzeniu:
PRĘDKOŚĆ KĄTOWA
Wartość wektora prędkości kątowej równa jest pochodnej przemieszczenia kątowego względem czasu, zaś jego kierunek pokrywa się z osią obrotu.
Ruch obrotowy ze stałą prędkością kątową opisuje się także podając czas, w którym poruszające się ciało wykonuje jeden pełny obrót, czyli kiedy kąt obrotu wynosi . Czas ten, oznaczany zwykle jako , nosi nazwę okresu w ruchu obrotowym. Liczbę obrotów wykonanych przez ciało w czasie jednej sekundy, czyli odwrotność okresu, nazywa się częstotliwością i oznacza zwykle jako lub ...