Twoim problemem jest to, że powszechną NICOŚĆ mylisz z osobistą PUSTKĄ
//-->.pos {position:absolute; z-index: 0; left: 0px; top: 0px;}POLITECHNIKAŚWIĘTOKRZYSKAZAKŁAD BADAŃ OPERACYJNYCH I SYSTEMÓWSTEROWANIALABORATORIUM TEORII STEROWANIAI SYSTEMÓWINSTRUKCJAĆWICZENIELABORATORYJNE NR 6Temat:Analiza układów liniowychKIELCE 19992Analiza układów liniowychBadanie układów regulacji1.Celćwiczenia.:Celemćwiczeniajest analiza układu wielowymiarowego ze szczególnymuwzględnieniem stabilności, sterowalności, obserwalności oraz zapisu w przestrzeni stanów.2.Wprowadzenie teoretyczne2.1 Opis układów dynamicznych2.1.1.Pojęcie układu dynamicznego.W zagadnieniach automatyki mamy do czynienia z róŜnymi procesami fizycznymi,które interesują nas z punktu widzenia moŜliwości celowego wpływania (sterowania) nazachodzące w nich zmiany za pośrednictwem określonych wielkości. PrzewaŜnie nie mapotrzeby wchodzić w naturę fizyczna tych procesów ;odgrywa ona istotną rolę jedynie przyustaleniu opisu matematycznego. Sposoby opisu, a zwłaszcza metody analizy zachowania sięw czasie, są ogólne. Dowolny układ fizyczny rozpatrywany z punktu widzenia jegozachowania się w czasie, a więc z punktu widzenia zachodzących w nim procesówdynamicznych, nazywamy układem dynamicznym. Informacji o zachowaniu się układuw czasie dostarczają przebiegi wielkości fizycznych podlegających pomiarom takich:napięcie, prąd, temperatura, połoŜenie, prędkość, ciśnienie itd. Nazywamy te wielkościsygnałami, są bowiem nośnikami informacji o stanie układu. Czynniki zewnętrzneoddziaływujące na układ nazywamy sygnałami wejściowymi lub wymuszeniami, zaś miejscaich oddziaływania-wejściami układu. Wielkości charakteryzujące zachowanie się układunazywamy jego współrzędnymi. Te z nich które oddziałują na inne układy, nazywamysygnałami wyjściowymi, miejsca w których je obserwujemy-wyjściami układu (patrz rys 1.1).Wejścia u1(t)i sygnały u2(t)wejściowe un(t)UkładdynamicznyY1(t)WyjściaY2(t)i sygnałyYm(t)wyjścioweRys.1.1.Schemat blokowy ukladu dynamicznegoZbiór sygnałów wejściowych definiujemy odpowiednio jako :wektor sygnałów wejściowych,a zbiór sygnałów wyjściowych jako wektor sygnałów wyjściowych. Układ przedstawiony narys.1.1 moŜe być określony mianem układu o r wejściach i o m wyjściach, bądź układemo wektorze sygnałów wejściowych u(t) i wyjściowych y(t). Opis matematyczny układudynamicznego sprowadza się do podania związku między wektorem sygnałów wejściowychi wyjściowych- na przykład w postaci równania róŜniczkowego, całkowego, czy teŜzaleŜności operatorowej. Występujące w tych równaniach parametry zaleŜą od takichparametrów układu fizycznego jak :masa, współczynnik tarcia, pojemność itp. Mogą one byćstałe lub zaleŜne od czasu oraz od współrzędnych układu. Przykładem zaleŜności od czasumoŜe być zmiana współczynnika wzmocnienia lampy elektronowej na skutek jej starzenia się.Jako przykład zaleŜności od współrzędnych moŜna podać zaleŜność napięcia Zenera odtemperatury złącza. Parametry układu mogą zaleŜeć od współrzędnych geometrycznych-mówimy wtedy,Ŝejest to układ o parametrach rozłoŜonych- w przeciwieństwie do układuo parametrach skupionych. W dalszym ciągu niniejszego rozdziału zajmować się będziemyukładami o parametrach stałych, niezaleŜnych ani od czasu, ani od współrzędnych układu.WyróŜniamy dosyć3Analiza układów liniowychszeroką klasę układów dynamicznych, dla których związki między sygnałami wejściowymi,wyjściowymi oraz innymi współrzędnymi układu mogą być przedstawione w postaciliniowych równań róŜniczkowych zwyczajnych o stałych parametrach. Układy te nazywamyukładami liniowymi stacjonarnymi o parametrach skupionych. MoŜna dla nich wprowadzićpojecie stanu układu dynamicznego. Jak wiadomo rozwiązanie liniowego równaniaróŜniczkowego zaleŜy od postaci funkcji wymuszającej(sygnału wejściowego), odparametrów występujących w równaniu i od warunków początkowych. Przez znajomośćwartości wyróŜnionych współrzędnych układu w danej chwili moŜemy zastąpić znajomośćsygnałów oddziaływujących na układ w „przeszłości”. Najmniejszy liczebnie zespółwspółrzędnych, wystarczający do przewidywania zachowania się układu w przeszłości przywykorzystaniu znajomości sygnałów wejściowych i parametrów układu nazywany jeststanem układu dynamicznego.2.1.2.Przykład układu dynamicznego.Dla prostego układu elektrycznego z rys.1.2 obowiązuje równanie spadków napięćV2(t)+R*i(t)=V1(t)Rys.1.2.Układ inercyjny.1tV2(t)=∫i(t)dtC−∞Za sygnał wejściowy przyjmijmy V1=u, za sygnał wyjściowy V2=y.W celu wyrugowaniazmiennej i z powyŜszego równania wykorzystamy zaleŜnośćlub równowaŜnądV2( t )dtotrzymując w rezultacie równanie róŜniczkowei( t ) = C ×RC ×dy+y=udtWystępujące w tym równaniu stałe R i C są parametrami układu. Sygnał wyjściowy y moŜnaprzyjąć jako stan układu, poniewaŜ rozwiązanie równania róŜniczkowego jest danezaleŜnościąt - t01tt−τy(t)=y(t0 )×exp(-)+∫exp−RCRCRCt×u(τ)dτ(1.1)4Analiza układów liniowychCzyli nie zaleŜy w sposób jawny od u(t) w przedziale t≤t0. Przy tradycyjnym rozróŜnieniuoznaczeń stanu układu(x) i sygnału wyjściowego (y) model matematyczny naszego układudynamicznego moŜemy zapisać w tzw. postaci normalnejdx= ax + budty=x(1.2)1RC1b=RCŁatwo zauwaŜyć,Ŝena współrzędną stanu moglibyśmy przyjąć ładunek kondensatora:przy czym : a = -z=ρ=∫i(t)dt−∞tRównania układu miałyby wówczas postaćdz=az+b1udty=c1z(1.3)1przy czym : a = -RC1b1=R1c1=CPowyŜsze spostrzeŜenie daje się uogólnić. Wybór współrzędnych stanu układu jest zwykleniejednoznaczny. Ten sam układ dynamiczny moŜe być opisany za pomocą roŜnych postacirównań, przy czym związek między sygnałami wyjściowymi a wejściowymi jest niezmienny.2.1.3.Równania układu dynamicznego.Dla układu liniowego stacjonarnego o parametrach skupionych odpowiedni jest opisw postaci następujących równań macierzowych, zwanych równaniami układux’(t)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)(1.4)Związek między stanem układu x a sygnałem wejściowym u nosi nazwę równania stanu, zaśdrugi związek wyraŜający sygnał wyjściowy y przez kombinacje liniową stanu układui sygnału wejściowego – równania wyjścia.5Analiza układów liniowychZ definicji stanu wynika,Ŝestan jest pojęciem niejednoznacznym i róŜne współrzędne mogąpretendować do nazwy współrzędnych stanu. WaŜnym staje się więc pojęcie układówrównowaŜnych. Dwa liniowe układy dynamiczne nazywamy równowaŜnymi, jeśli istniejemacierz nieosobliwa P taka,Ŝex(t)=Pz(t)przy czym x(t) i z(t)- odpowiednio stany jednego i drugiego układu.Pojęcie układu równowaŜnego jest bardzo uŜyteczne, bowiem podstawowe właściwościukładów dynamicznych są niezmienne dla klasy układów równowaŜnych. ZauwaŜmy,ŜedwarównowaŜne układy dynamiczne (1.2) i (1.3) mają identyczne równanie charakterystycznerównania róŜniczkowego:λ-a=0a więc i całkę równania jednorodnego. Wniosek ten jest słuszny dla wszystkichrównowaŜnych układów dynamicznych rzędu pierwszego. Przez analogie do przypadkuskalarnego dla równania macierzowego (1.4) moŜemy zapisać równanie charakterystyczne.det(λI-Λ)=0Pierwiastki tego równania –wartości własne układu –są identyczne dla układówrównowaŜnych. Związek między wektorem sygnałów wejściowych, wektorem stanui wektorem sygnałów wyjściowych, dany przez równania układu (1.4), jest tylko jednymz moŜliwych sposobów opisu układu dynamicznego. RozwiąŜmy te równania. Dlauproszczenia zróbmy to jedynie dla układu o jednokrotnych i rzeczywistych wartościachwłasnych. W tym przypadku istnieje taka macierz M, zwana macierzą modalną,Ŝepoprzekształceniu (tzw. przekształceniu podobieństwa)x=Mzotrzymujemy•z= Λz+M-1B u_ ___ __przy czymΛjest macierzą diagonalną podobną do macierzy A :Λ=M-1A MRozwiązanie równania jednorodnegoz =Λz__ _•przez analogie do przypadku skalarnego, moŜemy zapisać w postaciz(t) = e__Λ( t-t)× z( t)_a rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego (por. (1.1)) w postaciΛ(t-t)_z(t)=e_×z(t)+∫e_tΛ(t-τ)_×M-1B u(τ)dτ__ _tKorzystając z obowiązującego dla funkcji macierzy wzorue_= M e_M-1__ΛtΛt(1.5)otrzymujemy ogólną postać rozwiązania równania stanu