Twoim problemem jest to, że powszechną NICOŚĆ mylisz z osobistą PUSTKĄ
Macierze i wyznaczniki Definicja macierzy
Macierzą wymiaru m´n nazywamy wartość odwzorowania, którego dziedziną jest iloczyn kartezjański {1,2,...,m}´{1,2,...,n} a wartości są z pewnego zbioru (ciała) K : {1,2,...,m}´{1,2,...,n}®aÎK
Def.Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A nazywamy wartość odwzorowania det: zbioru macierzy stopnia n, które spełnia warunki : 1.jednorodność "lÎK
det(a,...,la,...,a)=l(a,...,a,...a) 2.addytywność det=det+det
3. det=-det
4.detE=det=1Â Â Â Â Â Â E- macierz jednostkowa
Własności:1.detA=detA wszystkie własności sformułowane dla kolumn są prawdziwe dla wierszy.2.det(0)=0 z własności 1.
3.Pomnożyć wyznacznik przez liczbę, znaczy pomnożyć 1 kolumnę macierzy przez tę liczbę.4.Zamiana miejscami dwóch kolumn macierzy powoduje zmianę znaku wyznacznika.5.Macierz o dwóch identycznych kolumnach ma wyznacznik równy 0 lub macierz o dwóch kolumnach proporcjonalnych ma wyznacznik równy zero.
det=-det detA=0 6.Macierz o
kolumnie zerowej ma wyznacznik równy 0 det =det = det+(-1)det=0 7.Jeżeli w
macierzy jedna kolumna jest kombinacją liniową pozostałych kolumn, to wyznacznik macierzy równa się zero det=
det+det+...+det=0
8.Wyznacznik macierzy nie zmieni wartości, Jeśli do jego dowolnej kolumny dodamy kombinację liniową pozostałych.
9.Wyznacznik macierzy jest równy 0Û, gdy kolumny tej macierzy są liniowo zależne. 10.(twierdzenie Cauchy’ego)-Wyznacznik iloczynu macierzy równy jest iloczynowi wyznaczników macierzy. det(A*B)=(detA)*(detB)  jeśli AB#BA det(AB)=det(BA)
Def. minoraMinorem M elementu a macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy, którą otrzymamy usuwając z macierzy A i-ty wiersz i j-tą kolumnę.
Def.Dopełnieniem algebraicznym A elementu amacierzy A nazywamy liczbę określoną wzorem A:=(-1)M
Def.Macierz kwadrat. A nazywamy macierzą nieosobliwą jeśli jej wyzn. jest różny od 0; jeśli detA=0, to A nazywamy macierzą osobli.
Def.Jeżeli macierze A,BÎ oraz AB=BA=E to macierz B
nazywamy odwrotnÄ… do macierzy A i oznaczamy jÄ… symbolem A.
Def.Niech U i V będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem K. Odwzorowanie f:U®V spełniające warunki:
1."a,bÎU  f(a+b)=f(a)+f(b) - addytywność odwzorowania
2."lÎK "aÎU :f(la)=lf(a) - jednorodność odwzorowania – nazywamy przekształceniem liniowym przestrzeni U w V
(1.i 2.)Û "l,lÎK "a,bÎU f(la+lb)=lf(a)+lf(b)
Jeśli V=R to przekształcenie nazywamy formą liniową. F(U) podprzestrzeń liniowa przestrzeni V.
Def. rzędu macierzy.Rzędem niezerowej macierzyA=( a,a,... ,a) nazywamy ilość liniowo niezależnych wierszy bądź kolumn tych macierzy.Uwaga 1: Rzęd.macierzy A nazyw. największy stopień jej minora różnego od 0.Uwaga 2: DimL=( a,a,...,a)=r(A)
Własności rzędu macierzy:1.r(A)=0Û A=0   2.r(A)=r(A)
3.r(A)£min(m,n) jeśli AÎ
4.Rząd macierzy nie zmieni się jeśli dokonamy na kolumnach tej macierzy operacji, które nie zmienią wartości wyznacznika. W szczególności rząd macierzy nie zmieni się jeśli usuniemy z niej kolumnę zerową, lub z dwóch kolumn proporcjonaln. usuniemy jedną.
Przestrzeń metryczna i unormowana
Odwzorowanie d:A®R , gdzie A¹0 spełniające warunki :
1."a,bÎA d(a,b)=0Û a=b 2."a,bÎA d(a,b)=d(b,a) – symetria
3."a,bÎA d(a,b)£d(a,c)+d(c,b)-nierówność trójkątna – nazywamy metryką w zbiorze A. Wartość tego odwzorowania na parze elementów (a,b)nazywamy odległością elementów a i b.
"a,bÎA d(a,b)³0  d(a,b)=[ d(a,b)+d(b,a)]³ d(a,a)=0
Def.Przekształcenie f:A®A gdzie (A,°) przestrzeń metryczna, spełniające warunek:"a,bÎA d(f(a),f(b))=d(a,b) nazywamy izometrią.
Def.Przekształcenie f:A®A gdzie (A,°) przestrzeń metryczna, spełniające warunek:  $lÎ(0,1) "a,bÎA d(f(a),f(b))£ld(a,b) nazywamy przekształceniem zwężającym lub kontrakcją.
Przestrzeń unormowana Niech V (przestrzeń liniowa) nad ciałem R. Funkcjonał (odwzorowanie) ||·||:V®R spełniająca warunki:
1."vÎV ||v||=0 Û v=0 2."lÎR "vÎV ||lv||=|l|*||v||
3."v,vÎV ||v+v||£||v||+||v|| nazywamy normą w przestrzeni V, a przestrzeń liniową z określoną normą nazywamy przestrzenią unormowaną.
Â