Twoim problemem jest to, że powszechną NICOŚĆ mylisz z osobistą PUSTKĄ
Robot
: Urządzenie mechaniczne wyposażone
w napęd i układ sterowania, które może być
zaprogramowane do automatycznego
wykonania różnorodnych operacji
pozycjonowanie zderzakowe
-gdy tylko
początek i koniec każdego odcinka ruchu
danej osi ruchu są określone (np. poprzez
usytuowanie zderzaków)i tylko te położenia
osi ruchu są osiągane dokładnie
pozycjonowanie dymensyjne
(swobodne)-
gdy dowolne położenie osi ruchu, zawarte w
zakresie ruchu, może być osiągnięte przez
człon wykonawczy napędu.
Ruch swobodny -Åšledzenie toru ruchu
:
-rozwiÄ…zanie problemu generacji przebiegu
wejścia opartego na aktualnym stanie wyjścia
i majÄ…cego na celu uzyskanie zadanego
przebiegu czasowego wyjścia jest
przedmiotem syntezy sterowania robotów.
W przypadku równoczesnego planowania i
śledzenia trajektorii w każdym takcie
sterownia generowana jest korekta
parametrów zaplanowanej trajektorii
Wymaga to dużych mocy obliczeniowych i
dla większości klas operacji wykonywanych
przez manipulatory nie jest konieczne
.
Manipulator robota przemysłowego
Tor ruchu
-zbiór punktów -miejsc
geometrycznych, w których ma się znaleźć
efektor z pewnÄ…(zadanÄ… lub nie) orientacjÄ… w
czasie realizacji operacji.
Parametryzacja toru ruchu w funkcji czasu
prowadzi do określenia
trajektorii ruchu
efektora robota(kinematyka).
Najczęściej etap planowania jest
przeprowadzany oddzielnie i poprzedza
śledzenie trajektorii:
-w czasie śledzenia zaplanowane wartości
parametrów trajektorii nie mogą być
aktualizowane
-błędy śledzenia są minimalizowane poprzez
zastosowanie odpowiedniego typu regulatora.
Zaplanowana trajektoria determinuje
:
-czas realizacji operacji
-wielkość zużytej energii
-jakość realizowanego procesu
technologicznego
-skuteczność współpracy wielu
manipulatorów i urządzeń przez nie
obsługiwanych
-efektywność omijania przeszkód.
Wprowadzenie w procedurze planowania
ograniczeń związanych np. z siłami
napędowymi powoduje, że konieczne jest
uwzględnienie w tej procedurze modelu
dynamicznego manipulatora.
Realizacja ruchu efektora według
zaplanowanej trajektorii (pozycjonowanie lub
śledzenie trajektorii) jest problemem
sterowania ruchem manipulatora.
W praktyce w niektórych przypadkach fazy
planowania trajektorii i jej śledzenia mogą
przebiegać równocześnie
Model
jest teoretycznym opisem obiektu
(procesu). Własności i charakterystyki
modelu powinny być zbieżne do
rzeczywistych własności i charakterystyk
obiektu wg przyjętego kryterium. Opis
powinien być uproszczony tak by mógł być
analizowany przy pomocy dostępnych metod.
Stopień uproszczenia nie powinien być jednak
zbyt duży, żeby możliwe było uzyskanie
nowej wiedzy na temat obiektu (procesu) na
podstawie analizy zachowania siÄ™ modelu.
Cele modelowania
Główna techniczna przeszkoda zastosowania
w praktyce trajektorii kartezjańskich : brak
czujników wyznaczających położenie i
orientacjÄ™ efektora w przestrzeni
kartezjańskiej pracujących niezawodnie w
warunkach przemysłowych.
Śledzenie trajektorii kartezjańskiej wymaga
transformacji parametrów geometrycznych i
kinematycznych
-z przestrzeni współrzędnych złączowych do
przestrzeni kartezjańskiej w celu wyznaczenia
uchybu
-z przestrzeni kartezjańskiej do przestrzeni
współrzędnych złączowych dla wyznaczenia
korekty sterowania.
Jest to postępowanie:
-złożone
-wymagajÄ…ce odpowiedniej mocy
obliczeniowej
-zwykle nieuzasadnione ekonomicznie.
Najczęściej stosowane w praktyce jest
planowanie trajektorii w przestrzeni
współrzędnych złączowych
Porównanie toru ruchu w przestrzeni
złączowej i kartezjańskiej
Tor ruchu
-zbiór położeń (lub dodatkowo)
orientacji efektora w przestrzeni roboczej
zadanych zbiorem krzywych płaskich w
przestrzeni współrzędnych złączowych lub
krzywą w przestrzeni kartezjańskiej
Trajektoria ruchu
– zbiór krzywych lub
krzywa sparametryzowana czasem
Ruch lokalny efektora w kontakcie z
przedmiotami w przestrzeni roboczej
:
PROJEKTOWANIE
-dobór sztywności i
wytrzymałości, -dobór napędu, -dobór
chwytaka lub narzędzia,- opis ruchu w
złączach, przestrzeni roboczej, prędkości i
przyspieszeń chwytaka, -opracowanie
technologii wykonania, -wyliczenie kosztów.
−SYMULACJA(NUMERYCZNA)–gdy
wykonanie eksperymentu na rzeczywistym
robocie jest: niemożliwe, drogie,
niebezpieczne, złożone technicznie.
−SYNTEZA STEROWANIA–- ruchu
swobodnego chwytaka (manipulacja) -ruchu
lokalnego chwytaka/narzędzia w kontakcie z
przedmiotami znajdujÄ…cymi siÄ™ w przestrzeni
roboczej (np. w czasie montażu, obróbki czy
inspekcji)
Zastosowana technika programowania pracy
robota decyduje o stopniu złożoności
algorytmu
planowania trajektorii
:
-programowanie przez uczenie
-programowanie bezpośrednie
Punkt trajektorii ruchu może być określony
przez:
-wektor położenia
P
-wektor orientacji Φ-
wektor prędkości liniowej v-wektor prędkości
kątowej ω-wektor przyspieszenia liniowego a-
wektor przyspieszenia kątowego ε.
Najczęściej zadaje się tylko położenie.
Rzadziej dodatkowo orientację i prędkość
liniowÄ… efektora.
- wolne przemieszczenie chwytaka
mocujÄ…cego w kierunku pionowym z (oÅ›
wydłużenia sworznia)
-minimalizacja sił reakcji w kierunkach x i y
-minimalizacja momentów sił reakcji w
kierunkach osi x i y
-obrót wokół osi
z
o charakterze
oscylacyjnym (zmniejszanie
prawdopodobieństwa powstania ruchu
przestankowego w kierunku pionowym).
Do planowania przebiegów współrzędnych
złączowych wykorzystuje się najczęściej
funkcje sklejane :*wielomianowe
*trygonometryczne
.
Główna zaleta trajektorii złączowych :
prostota algorytmów planowania i łatwość
śledzenia trajektorii złączowych przez układy
sterowania większości robotów
przemysłowych. Główna wada trajektorii
złączowych :brak koordynacji ruchów
poszczególnych złącz(nieprzewidywalny
przebieg powstałego ze złożenia zbioru
trajektorii złączowych toru ruchu efektora w
przestrzeni kartezjańskiej)
Założenie:
-manipulator posiada tylko obrotowe albo
postępowe złącza
-manipulator ma otwarty łańcuch
kinematyczny
-manipulator ma prostoliniowe człony
-manipulator jest nie
nadmiarowy(DOM=DOF)
-manipulator ma sztywne człony i złącza
-zjawiska tarcia i luzu sÄ… zaniedbane w
modelu.
Schemat obiektu modelowania
Rodzaje modeli matematycznych
manipulatorów
GEOMETRYCZNY
-w postaci układu równań
algebraicznych służących określeniu pozycji
efektora manipulatora w jego PR bez
rozpatrywania przyczyn tego ruchu
KINEMATYCZNY
-w postaci układu równań
algebraicznych opisujÄ…cych ruch efektora w
jego PR bez rozpatrywania przyczyn tego
ruchu
STATYCZNY
-w postaci układu równań
algebraicznych opisujących równowagę sił
czynnych działających na manipulator oraz sił
reakcji z jakimi otoczenie działa na
manipulator
DYNAMICZNY
-w postaci układu równań
różniczkowych opisujących siły
oddziaływujące na manipulator w czasie jego
ruchu.
Model matematyczny jest w postaci równania
lub układu równań:
f
(
x
)=0
Schemat planowania trajektorii ruchu
Ze względu na dużą zmienność
wartości wielomianów
wysokiego stopnia oraz
trudności w wyznaczeniu ich
ekstremów lokalnych nie
stosuje się wielomianów o
stopniu większym
niż7(najczęściej stosowany jest
stopień z zakresu: 3-5).
Wynikiem procedury planowania trajektorii
jest opis toru ruchu we współrzędnych
złączowych
q(t)
lub rzadziej we
współrzędnych kartezjańskich:
P(t),
Φ
(t),
v(t),
ω
(t), a(t),
ε
(t)
.
Ograniczenia geometryczne określają :
-miejsca geometryczne punktów toru ruchu
efektora
-lokalizację przeszkód w przestrzeni roboczej
manipulatora.
Bezpieczeństwo ruchu efektora wymaga
użycia, nawet w przypadku pozycjonowania
przynajmniej 4 punktów toru ruchu.
Model obiektu umożliwia określenie
:
-jakie własności będzie mieć
przebieg wyjścia dla zadanych
własności przebiegu
wejścia(zadanie proste)
-jaki przebieg wejścia odpowiada zadanemu
przebiegowi wyjścia(zadanie odwrotne).
Przykład schematu wykorzystania modeli
manipulatorów w procesie projektowania
Ograniczenia kinematyczne dotyczÄ…:
-przebiegów wartości współrzędnych
wektorów: prędkości, przyspieszenia, dżerku i
wyższych pochodnych przemieszczenia po
czasie.
-parametrów napędów (prędkość i
przyspieszenie)w postaci charakterystyk
zależności prędkości od momentu/siły
napędowej.
Przykład trajektorii typu 5-5-5-5-5-5-5
Ruch swobodny
efektora manipulatora
odbywa się wzdłuż zadanego toru w
przestrzeni roboczej. Modelowanie ruchu
swobodnego prowadzi siÄ™ w:
- przestrzeni współrzędnych złączowych
względem współrzędnych złączowych : q1,
q2,...,q n-
-przestrzeni kartezjańskiej
uogólnionej(położenia i orientacji efektora w
PR) względem współrzędnych kartezjańskich:
x, y, z,
Ï•
, θ, ψ.
Ruch efektora w przestrzeni roboczej
realizuje siÄ™ poprzez
:-pozycjonowanie-gdy dokładne osiągnięcie
zadanej pozycji efektora jest wymagane tylko
dla wybranych punktów toru jego ruchu
-śledzenie toru ruchu-gdy aktualny błąd
pozycji efektora jest stale wykorzystywany w
generacji uchybu regulacji.
Ruch swobodny pozycjonowanie 3 fazy
ruchu :
Ograniczenia dynamiczne
:
-wartości momentów/ sił napędowych
-obciążeń dynamicznych struktury
manipulatora
Przykład trajektorii 4-3-3-3-3-3-4
Stosowane ograniczenia geometryczne i
kinematyczne mają charakter warunków:
*ciągłości *różniczkowalności *ograniczeń
ekstremalnych wartości parametrów
trajektorii.
Budowa i eksploatacja robotów
przemysłowych wymaga formułowania
odpowiednich modeli manipulatorów tych
robotów
Przykład trajektorii trygonometrycznej:
-zjawiska nie uwzględnione w budowanym
modelu są traktowane jako zakłócenia
przebiegu wejścia i/lub wyjścia, a ocena
przyjętych założeń modelowych jest możliwa
jedynie poprzez przeprowadzenie
eksperymentu weryfikujÄ…cego zbudowany
model
-w ogólnym przypadku
struktura
, a przede
wszystkim
wartości parametrów
budowanego modelu sÄ… znane z ograniczonÄ…
dokładnością, a ich wyznaczenie wymaga
przeprowadzenia eksperymentu
identyfikacyjnego
Gwałtowne zmiany wartości parametrów
kinematycznych odpowiadajÄ…ce
nieróżniczkowalności i nieciągłości ich
przebiegów:
-są przyczynami powstawania drgań
manipulatora
-wpływają na ograniczenie dokładności
operacji
-powodują wydłużenie czasu operacji
-wywołują przyspieszenie zużycia elementów
i podzespołów.
Wyznaczanie prędkości i przyspieszeń
Szeregowa struktura mechanizmu
manipulatora wskazuje rekursywną postać
algorytmu wyznaczania parametrów
kinematycznych. Algorytm oparty na definicji
prędkości i przyspieszenia oraz na opisie
kinematyki ruchu złożonego. Postać
algorytmu:
 Parametry kinematyczne
i
-tego członu są
wyznaczone kolejno zaczynajÄ…c od
nieruchomej podstawy robota, dla której
zakłada się ich zerowe wartości:
Strategie planowania pracy manipulatora
robota przemysłowego:
-przez opisanie ruchów we wszystkich
złączach
-przez opisanie ruchu efektora w przestrzeni
kartezjańskiej
-przez opisanie operacji
-przez opisanie zadania
Opisanie ruchów we wszystkich złączach:
-pozycjonowanie lub śledzenie toru ruchu we
współrzędnych
złączowych
-programowanie pracy przez uczenie
-sterowanie lokalne –uchyb regulacji
wyznaczany dla każdej
współrzędnej złączowej osobno
W przypadku manipulatora o 6 DOMi 6 DOF
macierz Jakobianu manipulatora jest
kwadratowa i daje się odwrócić we
wszystkich pozycja chz wyjÄ…tkiem pozycji
osobliwych (detJ=0)
Lokalna osobliwość macierzy Jakobianu
manipulatora:
-z matematycznego punktu widzenia –liniowa
zależność wierszy Moc serdeczności acierzy
Jakobianu
-z fizycznego punktu widzenia –istnienie
przynajmniej jednego kierunku, w którym nie
można przemieścić efektora bez względu na
zadane wartości prędkości złączowych
Dla każdego następnego (
i
-tego
i
=1,...,
n
)
członu: wektor prędkości kątowej członu
i
-
tego:
Wyznaczenie macierzy jakobianu
e
J
e
manipulatora poprzez operacje algebraiczne
na podstawie zależności różniczkowych
wektor prędkości liniowej członu
i
-tego:
Zmiana pozycji efektora jest superpozycjÄ…
zmian położeń wzajemnych par członów w
każdym złączu. Jeśli ruch zachodzi w złączu
i
-prędkość, przyspieszenie i-tego złącza
pryzmatycznego (postępowego), nie zerowe
tylko w przypadku złącza pryzmatycznego
Macierz jakobianu manipulatora obniża rząd.
Efektor może być przemieszczony tylko w
kierunku prostopadłym do obu członów
.
to równoważna zmiana pozycji efektora może
być wyznaczona jako:
opisanie ruchu efektora w przestrzeni
kartezjańskiej:
-prędkość, przyspieszenie i-tego
złącza obrotowego, niezerowe tylko w
przypadku złącza obrotowego
-programowanie pracy bezpośrednie w
przestrzeni kartezjańskiej
-śledzenie toru ruchu we współrzędnych
kartezjańskich
-sterowanie kartezjańskie –uchyb regulacji
wyznaczany obliczeniowo w przestrzeni
kartezjańskiej –konieczna jest w każdym
takcie sterowania transformacja z przestrzeni
współrzędnych
złączowych do przestrzeni kartezjańskiej i
odwrotnie
Wyznaczenie macierzy jakobianu
0
J
e
manipulatora:
-wersor i-tej osi ruchu wyrażony w
układzie odniesienia
-wektor o początku w środku i-1
lokalnego układu współrzędnych i końcu w
środku i-tego lokalnego układu
współrzędnych wyrażony w układzie
odniesienia
Wektory przemieszczeń różniczkowych
(prędkości) maja być wyrażone w układzie
odniesienia (0)
Transformacji podlegajÄ… pary
:
-pozycja efektora –współrzędne złączowe
-wektory prędkości i przyspieszeń –prędkości
ruchów w złączach
-siły/ momenty sił oddziaływania efektora na
otoczenie – siły/momenty sił napędowych
Zależności różniczkowe pozwalają opisać
transformację prędkości, przyspieszeń w
oparciu o macierz jakobianu manipulatora
Orientacja układu odniesienia, w którym
zachodzi przemieszczenie różniczkowe , w
układzie
i
-tym
wektor przyspieszenia kątowego członu
i
-
tego:
W okolicy
q2
=0, nawet jeśli macierz
Jakobianu nie jest osobliwa, przy odwracaniu
mogą wystąpić błędy numeryczne
Przypadki zależne od ruchliwości
manipulatora
DOM=DOF=6
Odwrócenie symetrycznej
macierzy jakobianu manipulatora poza
lokalnymi pozycjami osobliwymi jest
możliwe
DOM>DOF=1,2,...
Manipulatory nadmiarowe
wyznaczenie macierzy pseudo
odwrotnej(najlepsze –optymalne rozwiązanie
w sensie kryterium błędu
średniokwadratowego):
wektor przyspieszenia liniowego członu
i
-
tego:
Wprowadzenie orientacji układu odniesienia
(0) w układzie
i
-tym do macierzy 0
T
i-1:
Uwaga:
wyznaczane wektory prędkości liniowej i
przyspieszenia liniowego środków lokalnych
układów współrzędnych związanych z i-tym
człon
Zależności różniczkowe
Określają
nieskończenie małe (różniczkowe) zmiany
położenia i orientacji efektora odpowiadające
nieskończenie małym zmianom wartości
współrzędnych złączowych
Różnica między przemieszczeniem
skończonym i różniczkowym
Różniczkowanie modelu geometrycznego
(funkcje trygonometryczne) jest uciążliwe
DOM=DOF<6
W przypadku manipulatorów nie
nadmiarowych:
-należy sformułować równania więzów
kinematycznych
-rozwiązanie układu równań prowadzi do
warunków więzów kinematycznych
-skreślić zależne wiersze macierzy jakobianu
-odwrócić kwadratową macierz jakobianu
manipulatora
Wykorzystanie zależności różniczkowych
pozwala wyznaczyć kolumnę macierzy
jakobianu manipulatora
Odwracanie macierzy jakobianu
manipulatora i analiza osobliwości
Wyznaczanie wektora prędkości złączowych
DANE:
T e
określające położenie i orientację efektora
w PR
Wartości składowych wektora prędkości
efektora
Macierz jakobianu manipulatora
Problem stanowi określenie, które ze
składowych wektorów prędkości
kartezjańskich są zależne i w jaki sposób od
siebie zależą .Warunki wzajemnej zależności
składowych wektorów prędkości
v
i ω są
nazywane warunkami więzów
kinematycznych .
l
-określa numer układu współrzędnych
definiujących orientację osi, na które
rzutowane są składowe wektorów prędkości
członów manipulatora lub efektora
m
-określa
numer układu współrzędnych, dla którego
środka wektory prędkości i przyspieszenia są
wyznaczane poprzez przemnożenie macierzy
jakobianu przez wektor prędkości złączowych
W praktyce najczęściej wykorzystuje się dwa
rodzaje macierzy jakobianu manipulatora:
0
Więzy geometryczne, holonomiczne –
kierunek przemieszczenia możliwego δ
p
styczny do więzów
f
Różniczkowa transformacja jednorodna
kdT
l
Wektor przemieszczenia różniczkowego
wyrażony w układzie
k
:
SZUKANE
Wektor prędkości złączowych q
Manipulator SCARA
CEL
Sterowanie prędkością ruchu efektora
(poruszyć efektor w zadanym kierunku z
zadaną prędkością)
Nowe położenie i orientacja efektora:
J
e
-gdy wektory prędkości są rzutowane na
kierunki osi układu odniesienia (0), macierz
ta pozwala wyznaczyć wartości
współrzędnych wektorów prędkości
kartezjańskich efektora na podstawie
zadanych wartości prędkości złączowych (e-
to nr lokalnego układu współrzędnych
zwiÄ…zanego z efektorem)
e
Metody wyznaczania wektorów prędkości
złączowych na podstawie wektorów prędkości
kartezjańskich
Zmiana położenia i orientacji:
1. Odwracanie numeryczne macierzy
Jakobianu
-wynik ważny tylko dla rozważanej
konfiguracji
-brak wyniku w osobliwościach lokalnych,
błędy numeryczne w ich otoczeniu
2. Różniczkowanie zadania odwrotnego
kinematyki prowadzi do wyznaczenia
prędkości złączowych bez formułowania
macierzy jakobianu
3. Wykorzystanie zależności różniczkowych
Wyznaczenie na podstawie
De
wektorów
przemieszczenia różniczkowego
D1
,..,
De-1
z
zależności różniczkowych
iDiTe
=
iTeeD
przy
uwzględnieniu ruchliwości złącz, macierz
jakobianu nie jest formułowana
4. Wyznaczanie analityczne –symboliczne
RzÄ…d macierzy jakobianu manipulatora 4.
Przynajmniej 2 składowe (6-4=2)
kartezjańskich wektorów prędkości są zależne
od pozostałych ich składowych
Z matematycznego punktu widzenia
przynajmniej 2 wiersze macierzy
4J4
sąliniowo zależne od pozostałych.
Z fizycznego punktu widzenia realizacja
zaplanowanej operacji:
- nadanie położenia efektorowi
-następnie nadanie efektorowi orientacji
Poszukujemy 2 zależnych składowych
wektora prędkości kątowej ω.
J
e
– gdy wektory prędkości są rzutowane na
osie równoległe do osi układu związanego z
efektorem, macierz ta służy do określenia
wartości prędkości złączowych
odpowiadajÄ…cych ruchowi efektora w pewnym
kierunku z zadaną prędkością
Macierz różniczkowego przemieszczenia :
l
D
Różniczkowa transformacja jednorodna
k
dT
l
Wektor przemieszczenia różniczkowego
wyrażony w układzie l:
-Elementy macierzy jakobianu manipulatora
zależą w sposób nieliniowy (funkcje
trygonometryczne) od współrzędnych
złączowych qi i w czasie ruchu manipulatora
zmieniają wartości.
-wiersze macierzy jakobianu sÄ…
współczynnikami kombinacji liniowej
prędkości złączowych tworzącymi dany
składnik wektora prędkości kartezjańskiej
-kolumny macierzy jakobianu określają
wektory prędkości liniowej i kątowej dla
ruchu pojedynczego złącza z jednostkową
prędkością.
Nowe położenie i orientacja efektora:
Zmiana położenia i orientacji:
Osobliwość konfiguracji efektora oznacza:
-utratę ruchliwości (nie można poruszyć
efektora w kierunku osi podłużnej członów 1
i 2)
-utratę sterowalności(nie można sterować
prędkością ruchu efektora, składowa
prędkości w kierunku osi podłużnej członów
1 i 2 manipulatora jest zerowa dla dowolnie
dużych wartości prędkości złączowych).
Macierz różniczkowego przemieszczenia:
l
D
Odwracanie macierzy jakobianu
manipulatora
Do wyznaczenia układu dynamicznych równań ruchu
zostanie wykorzystana następująca
postać równań Lagrange’a II rodzaju:
Wyznaczenie macierzy jakobianu
e
J
e
manipulatora poprzez operacje
algebraiczne na podstawie zależności
różniczkowych
Zerowanie siÄ™ wyznacznika macierzy
jakobianu manipulatora nie zawsze oznacza
osiągnięcie przez jego efektor pozycji
osobliwej(przykład manipulatora PPPRR).
*Może ono wystąpić również jako skutek
ograniczonej ruchliwości łańcucha
kinematycznego mechanizmu manipulatora do
wartości mniejszej niż6, która odpowiada
ilościom stopni swobody bryły swobodnej w
przestrzeni trójwymiarowej.
gdzie: L -Ek-Ep - potencjał kinetyczny
Ek - energia kinetyczna
Ep - energia potencjalna
qj - współrzędna uogólniona
Qi – siła uogólniona.
Równania dynamiczne ruchu manipulatora
rozpatrywanego jako zbiór brył sztywnych
stanowi układ równań różniczkowych zwyczajnych,
który można zapisać w postaci
macierzowej jako:
1) Obrót wokół osi z o kat teta
Osobliwości pozycji efektora:
Warunek konieczny : zerowanie siÄ™
wyznacznika macierzy jakobianu
manipulatora.
Własności pozycji osobliwej
-utrata ruchliwości –nie można poruszyć
efektora w pewnym kierunku
-utrata sterowalności –bez względu na
wartości prędkości złączowych prędkość
kartezjańska w danym kierunku jest zerowa
-rozwiÄ…zanie zadania odwrotnego kinematyki
jest nieoznaczone –nieskończona ilość
rozwiązań.
Rodzaje osobliwości pozycji
-Wewnątrz przestrzeni roboczej – trudniej
wyznaczyć, utrudniają śledzenie toru ruchu
-Na granicy przestrzeni roboczej – łatwiej
wyznaczyć, rzadko osiągane przez efektor
gdzie:
Q - wektor sił uogólnionych
D - macierz bezwładności
H - wektor nieliniowych sprzężeń bezwładnościowych
C - wektor sił/momentów sił od sił ciężkości
q - wektor współrzędnych uogólnionych
t - czas
Główną konsekwencją nieliniowości modelu
dynamicznego jest, poza prostymi przypadkami,
niemożność analitycznego rozwiązania tego układu
równań różniczkowych. W takim przypadku
wykorzystuje siÄ™ metody numeryczne.
Model dynamiczny może być wykorzystany na dwa
sposoby.
ZADANIE PROSTE
W pierwszym z nich dane są przebiegi czasowe sił
napędowych a poszukuje się przebiegów czasowych
współrzędnych złączowych. Tak sformułowane
zagadnienie jest nazywane prostym zadaniem
dynamiki i wymaga rozwiązania układu równań
różniczkowych zwyczajnych.
ZADANIE ODWROTNE
W drugim dane są przebiegi czasowe współrzędnych
złączowych a poszukuje się odpowiadających im
przebiegów czasowych sił napędowych. Zagadnienie
to nazywa siÄ™ zadaniem odwrotnym dynamiki i
stanowi problem algebraiczny, który można w
zależności od potrzeb rozwiązać zarówno analitycznie
(symbolicznie) jak i numerycznie. Skomplikowana
postać układu dynamicznych równań ruchu, nawet dla
mało złożonych struktur manipulatorów oraz
wymagania niektórych metod całkowania równań
różniczkowych, powodują, że często dla celów
przeprowadzenia symulacji numerycznej układ ten
przedstawia się w postaci równań stanu. W przypadku
n złącz układ n równań 2 rzędu przekształca się do
układu 2n równań pierwszego rzędu. Procedurę
przekształcenia rozpoczyna przedstawienie zależności
(2) w postaci:
2) Przemieszczenie wzdłuż osi z
i
o d
i+1
:
3) Przemieszczenie wzdłuż osi x
i
o a
i+1
:
Transformacja obciążeń statycznych
Realizacja niektórych operacji wymaga
kontaktu efektora z przedmiotami
znajdujÄ…cymi siÄ™ w przestrzeni roboczej.
Stan obciążenia manipulatora w takim
przypadku odpowiada (lub prawie odpowiada)
równowadze statycznej. Realizacja sterowania
manipulatorem wymaga opisu transformacji
sił i momentów sił wzdłuż manipulatora
robota, poszukiwany jest ekwiwalentny
wektor sił Reprezentacja sił uogólnionych
działających na manipulator w układzie
l
:
4) Obrót wokół osi x
i
o kąt α
i+1
:
Wyznaczenie macierzy jakobianu
0
J
e
manipulatora:
Wektory przemieszczeń różniczkowych
(prędkości) maja być wyrażone w układzie
odniesienia (0)
Orientacja układu odniesienia, w którym
zachodzi przemieszczenie różniczkowe, w
układzie i-tym
Wektor przemieszczenia różniczkowego
efektora w układzie
l
:
Porównanie prac przygotowanych wektorów
sił uogólnionych na przemieszczeniach
przygotowanych (różniczkowych) w układach
współrzędnych
k
i
l
Uwzględniając zależności różniczkowe
między wektorami przemieszczeń
różniczkowych :
l
D
i
k
D
Wprowadzenie orientacji układu odniesienia
(0) w układzie i-tym do macierzy
0
T
i
-1
:
Przyjęcie następującego nowego zestawu
współrzędnych (określenie wektora stanu
Transformacja wektora sił od efektora do
złącz
:
Wektor sił napędowych:
pozwala wyznaczyć równania dynamiczne ruchu
manipulatora w postaci równań stanu:
Wykorzystanie zależności różniczkowych
pozwala wyznaczyć kolumnę macierzy
jakobianu manipulatora
1)Przemieszczenie wzdłuż osi z
i
o d
i+1
:
Wektor przemieszczeń złączowych
przygotowanych:
W stanie równowagi:
W przypadku
n
złącz macierz A ma wymiar 2nx2n i
jest postaci:
1) 2)
2) Przemieszczenie wzdłuż osi x
i
o
ai+1
:
3)
Obrót wokół osi z
i
o kąt θ
i+1
:
*Momenty siły transformują się jak prędkości
liniowe
*Siły transformują się jak prędkości kątowe
macierz B ma wymiar 2nxn i jest postaci:
Dla zadanego wektora
eF
nie zawsze istnieje
wektor
qF
. W kierunkach, w których
manipulator nie może nadać efektorowi
prędkości (liniowej lub obrotowej)
siły/momenty napędowe nie mogą
zrównoważyć siły/momentu zewnętrznego –
przenosi je struktura manipulatora.
W tych kierunkach efektor nie może też
działać siłą/momentem siły.
przy czym macierz 0n jest macierzÄ… zerowÄ… a macierz
In macierzÄ… jednostkowÄ… o wymiarze nxn.
4) Obrót wokół osi x
i
o kąt α
i+1
:
Wyznaczenie macierzy jakobianu
e
J
e
manipulatora poprzez operacje
algebraiczne na podstawie zależności
różniczkowych
Wyznaczenie macierzy jakobianu
e
J
e
manipulatora poprzez operacje
algebraiczne na podstawie zależności
różniczkowych
Wyznaczenie macierzy jakobianu
e
J
e
manipulatora poprzez operacje
algebraiczne na podstawie zależności
różniczkowych
Wyznaczenie macierzy jakobianu
e
J
e
manipulatora poprzez operacje
algebraiczne na podstawie zależności
różniczkowych
1) Obrót wokół osi z o kat teta
1) Obrót wokół osi z o kat teta
1) Obrót wokół osi z o kat teta
1) Obrót wokół osi z o kat teta
2) Przemieszczenie wzdłuż osi z
i
o d
i+1
:
2) Przemieszczenie wzdłuż osi z
i
o d
i+1
:
2) Przemieszczenie wzdłuż osi z
i
o d
i+1
:
2) Przemieszczenie wzdłuż osi z
i
o d
i+1
:
3) Przemieszczenie wzdłuż osi x
i
o a
i+1
:
3) Przemieszczenie wzdłuż osi x
i
o a
i+1
:
3) Przemieszczenie wzdłuż osi x
i
o a
i+1
:
3) Przemieszczenie wzdłuż osi x
i
o a
i+1
:
4) Obrót wokół osi x
i
o kąt α
i+1
:
4) Obrót wokół osi x
i
o kąt α
i+1
:
4) Obrót wokół osi x
i
o kąt α
i+1
:
4) Obrót wokół osi x
i
o kąt α
i+1
:
Wyznaczenie macierzy jakobianu
0
J
e
manipulatora:
Wektory przemieszczeń różniczkowych
(prędkości) maja być wyrażone w układzie
odniesienia (0)
Orientacja układu odniesienia, w którym
zachodzi przemieszczenie różniczkowe, w
układzie i-tym
Wyznaczenie macierzy jakobianu
0
J
e
manipulatora:
Wektory przemieszczeń różniczkowych
(prędkości) maja być wyrażone w układzie
odniesienia (0)
Orientacja układu odniesienia, w którym
zachodzi przemieszczenie różniczkowe, w
układzie i-tym
Wyznaczenie macierzy jakobianu
0
J
e
manipulatora:
Wektory przemieszczeń różniczkowych
(prędkości) maja być wyrażone w układzie
odniesienia (0)
Orientacja układu odniesienia, w którym
zachodzi przemieszczenie różniczkowe, w
układzie i-tym
Wyznaczenie macierzy jakobianu
0
J
e
manipulatora:
Wektory przemieszczeń różniczkowych
(prędkości) maja być wyrażone w układzie
odniesienia (0)
Orientacja układu odniesienia, w którym
zachodzi przemieszczenie różniczkowe, w
układzie i-tym
Wprowadzenie orientacji układu odniesienia
(0) w układzie i-tym do macierzy
0
T
i
-1
:
Wprowadzenie orientacji układu odniesienia
(0) w układzie i-tym do macierzy
0
T
i
-1
:
Wprowadzenie orientacji układu odniesienia
(0) w układzie i-tym do macierzy
0
T
i
-1
:
Wprowadzenie orientacji układu odniesienia
(0) w układzie i-tym do macierzy
0
T
i
-1
:
Wykorzystanie zależności różniczkowych
pozwala wyznaczyć kolumnę macierzy
jakobianu manipulatora
1)Przemieszczenie wzdłuż osi z
i
o d
i+1
:
Wykorzystanie zależności różniczkowych
pozwala wyznaczyć kolumnę macierzy
jakobianu manipulatora
1)Przemieszczenie wzdłuż osi z
i
o d
i+1
:
Wykorzystanie zależności różniczkowych
pozwala wyznaczyć kolumnę macierzy
jakobianu manipulatora
1)Przemieszczenie wzdłuż osi z
i
o d
i+1
:
Wykorzystanie zależności różniczkowych
pozwala wyznaczyć kolumnę macierzy
jakobianu manipulatora
1)Przemieszczenie wzdłuż osi z
i
o d
i+1
:
1) 2)
2) Przemieszczenie wzdłuż osi x
i
o
ai+1
:
3)
Obrót wokół osi z
i
o kąt θ
i+1
:
1) 2)
2) Przemieszczenie wzdłuż osi x
i
o
ai+1
:
3)
Obrót wokół osi z
i
o kąt θ
i+1
:
1) 2)
2) Przemieszczenie wzdłuż osi x
i
o
ai+1
:
3)
Obrót wokół osi z
i
o kąt θ
i+1
:
1) 2)
2) Przemieszczenie wzdłuż osi x
i
o
ai+1
:
3)
Obrót wokół osi z
i
o kąt θ
i+1
:
4) Obrót wokół osi x
i
o kąt α
i+1
:
4) Obrót wokół osi x
i
o kąt α
i+1
:
4) Obrót wokół osi x
i
o kąt α
i+1
:
4) Obrót wokół osi x
i
o kąt α
i+1
:
Â