sciaga geometria, NAUKA, matematyka, algebra liniowa

Twoim problemem jest to, że powszechną NICOŚĆ mylisz z osobistą PUSTKĄ

Def. 5.1.1 (przestrzeń R3)

Przestrzenią R3 nazywamy zbiór wszystkich uporządkowanych trójek (x,y,z) liczb rzeczywistych;

Uwaga. Przestrzeń R3 będziemy interpretować geometrycznie na trzy sposoby, tzn. jako:

zbiór wszystkich punktów P = (x,y,z) w przestrzeni (rys. 5.1.1). W tej interpretacji elementy przestrzeni R3 nazywamy punktami i oznaczamy przez A, B, C, P, Q itd. Liczby x, y, z nazywamy wtedy współrzędnymi punktu P = (x,y,z).

zbiór wszystkich wektorów zaczepionych w przestrzeni. Wektory te mają wspólny początek O = (0,0,0), a końce w punktach P = (x,y,z) (rys. 5.1.2). Wektor nazywamy wektorem wodzącym punktu P. W tej interpretacji elementy przestrzeni R3 nazywamy wektorami i oznaczamy przez itd. Wektory wodzące punktów będziemy oznaczali przez itd. Liczby x, y, z nazywamy współrzędnymi wektora .

zbiór wszystkich wektorów swobodnych w przestrzeni. Przez wektor swobody (rys. 5.1.3) rozumiemy tutaj zbiór wszystkich wektorów zaczepionych w różnych punktach, które mają ten sam kierunek, a zwrot oraz długość co wektor . W tej interpretacji elementy przestrzeni R3 także nazywamy wektorami.

Def. 5.1.2 (punkty współliniowe i współpłaszczyznowe)

Mówimy, że punkty A, B, C przestrzeni R3 są współliniowe, gdy istnieje prosta, do której należą te punkty

Mówimy, że punkty K, L, M, N przestrzeni R3 są współpłaszczyznowe, gdy istnieje płaszczyzna, do której należą te punkty.

Def. 5.1.3 (wektory współliniowe i współpłaszczyznowe)

Mówimy, że wektory są współliniowe, gdy istnieje prosta, w której zawarte są te wektory (rys. 5.1.6). Wektory współliniowe będziemy nazywać także wektorami równoległymi; piszemy wtedy . Przyjmujemy, że wektor jest równoległy do dowolnego wektora.

Mówimy, że wektory są współpłaszczyznowe, gdy istnieje płaszczyzna, w której zawarte są te wektory. Przyjmujemy, że wektor i dwa dowolne wektory są współpłaszczyznowe.

Def. 5.1.8 (układ współrzędnych w przestrzeni)

Układem współrzędnych w przestrzeni nazywamy trzy ustalone proste x, y, z przecinające się w jednym punkcie 0, które są wzajemnie prostopadłe. Taki układ współrzędnych oznaczamy przez Oxyz. Proste Ox, Oy, Oz nazywamy osiami, a płaszczyzny xOy, yOz, xOz płaszczyznami układu współrzędnych.

Def. 5.1.9 (orientacja układu współrzędnych w przestrzeni)

W zależności od wzajemnego położenia osi Ox, Oy, Oz układu współrzędnych wyróżniamy dwie jego orientacje: układ prawoskrętny (rys. 5.1.8) i układ lewoskrętny (rys. 5.1.9).

Def. 5.1.11 (długość wektora)

Długość wektora jest określona wzorem:

Fakt 5.1.12 (własności długości wektora)

Niech będą wektorami w R3 oraz niech a Î R. Wtedy

1. , przy czym

Def. 5.2.1 (iloczyn skalarny)

Niech będą dowolnymi wektorami w R3. Iloczyn skalarny wektorów i określamy wzorem:

gdzie j jest miarą kąta między wektorami i

Uwaga. Miara kąta między wektorami niezerowymi i wyraża się wzorem:

Rzut prostopadły wektora na wektor wyraża się wzorem:

Fakt 5.5.1 (równanie normalne płaszczyzny)

Równanie płaszczyzny p przechodzącej przez punkt P0 = (x0,y0,z0) o wektorze wodzącym i prostopadłej do wektora (rys. 5.5.1) ma postać:

gdzie jest wektorem wodzącym punktów przestrzeni. Wektor nazywamy wektorem normalnym tej płaszczyzny.

W formie rozwiniętej równanie płaszczyzny p przyjmuje postać:

Powyższe zależności nazywamy równaniami normalnymi płaszczyzny.

Fakt 5.5.2 (równanie ogólne płaszczyzny)

Każde równanie postaci:

gdzie |A| + |B| + |C| > 0, przedstawia płaszczyznę. Płaszczyzna ta ma wektor normalny i przecina oś Oz w punkcie , o ile C ¹ 0

Fakt 5.5.3 (równanie parametryczne płaszczyzny)

Równanie płaszczyzny p przechodzącej przez punkt P0 = (x0,y0,z0) o wektorze wodzącym i rozpiętej na niewspółliniowych wektorach i (rys. 5.5.3) ma postać:

, gdzie s, t Î R

lub inaczej:

, gdzie s, t Î R.

W formie rozwiniętej równanie tej płaszczyzny przyjmuje postać:

, gdzie s, t Î R.

Powyższe zależności nazywamy równaniami parametrycznymi płaszczyzny.

Fakt 5.5.5 (równanie odcinkowe płaszczyzny)

Równanie płaszczyzny p odcinającej na osiach Ox, Oy, Oz układu współrzędnych odpowiednio odcinki (zorientowane) a, b, c ¹ 0 (rys. 5.5.5) ma postać:

Powyższą zależność nazywamy równaniem odcinkowym płaszczyzny.

Fakt 5.6.1 (równanie parametryczne prostej)

Równanie prostej l przechodzącej przez punkt P0 = (x0,y0,z0) o wektorze wodzącym i wyznaczonej przez niezerowy wektor kierunku (rys. 5.6.1) ma postać:

, gdzie t Î R

lub inaczej:

, gdzie t Î R.

Powyższą zależność nazywamy równaniem parametrycznym prostej w postaci wektorowej.

Po rozpisaniu na współrzędne parametryczne prosta przyjmuje postać:

, gdzie t Î R.

Fakt 5.6.3 (równanie krawędziowe prostej)

Równanie prostej l, która jest częścią wspólną dwóch nierównoległych płaszczyzn , (rys. 5.6.3), ma postać:

Ten sposób zapisu prostej nazywamy jej równaniem krawędziowym.

Uwaga. Wektor kierunkowy prostej l ma postać , gdzie , .

...

sciaga geometria, NAUKA, matematyka, algebra liniowa

Twoim problemem jest to, że powszechną NICOŚĆ mylisz z osobistą PUSTKĄ

Formularz