Twoim problemem jest to, że powszechną NICOŚĆ mylisz z osobistą PUSTKĄ
Tw.(I tw. O przesunięciu)
Jeżeli L[f(x)]=F(s) to dla dowolnego a>0
L[f(x-a)]=e-asF(s)
L[f(x-a)]=e-asL[f(x)]
Dowód:
UWAGA: L-Laplace’a
Tw. (II tw o przesunięciu)
Jeżeli L[f(x)]=F(s), to dla dowolnego a>0
Jeżeli funkcja f(x) należy do klasy oryginałów, to funkcja f(x+a) (a>0)
powstała z przesunięcia wzdłuż osi odciętych może nie spełniać warunków
klasy oryginałów. W tym przypadku zamiast funkcji f(x+a) rozpatrujemy funkcję
η(x)f(x+a) należącą do zbioru oryginałów.
Dowód:
Uwaga: L-Laplace’a
1.Przeksztalcenia calkowe:
K(s,x) xÎR
s-zmienna zespolona
s = σ + jω, σ,ωÎR
A-zbiór funkcji f: (-∞,∞) -> (f(x) Î A)
- istnieje dla wartości sÎS
- przekształcenie całkowe
k-jądro przekształcenia
f(x) ÎA
f(x)-funkcja transformowana
A-zbiór funkcji transformowanej
transformata funkcji f(x)
T-pisane
Niech K(s,x)={0 dla x<0, e-sx dla x>0
L-pisane
2.Przekształcenie Laplace’a-Carsona
K(s,x)={0 dla x<0, se-sx dla x>0
3.Przekształcenie Fouriera
Niech σ=0
K(s,x)=e-jωx
F-pisane
Tw.
Jeżeli f1ÎA i f2ÎA to k1f1+k2f2ÎA
T[k1f1+k2f2]=k1T[f1(x)]+k2T[f2(x)]
1. Równania Cauchyego-Reimanna.
Niech f(z) = u(x,y) + jv(x,y)
Z= x+jy
Niech f(z) ma pochodna w Z
Niech ∆z =∆x+ j∆y –0 gdy ∆x—0 ∆y=0
to:
Warunki CR
2. Pochodna funkcji zespolonej
Jeżeli f(z)=u(x,y)+jv(x,y) ma w Z pochodna f’(z), to istnieja pochodne czastkowe funkcji u i v i zachodza związki CR. Jest to warunek konieczny lecz nie wystarczający dla istnienia funkcji Z. Pochodna funkcji f’(z)może nie istniec a istnieja pochodne czastkowe funkcji u i v
Jeżeli u i v maja pochodne ciagle w D spełniające warunki CR do f(z)=u+jv ma f’(z) dla każdego z € D
Funkcje która ma pochodna w każdym Pukackie obszaru D nazywamy analityczna. Funkcje analityczna w punkcie lub obszarze nazywamy holomorficzna. Suma roznica iloczyn iloraz
3. Calka zespolona.
Ø(t)=φ(t)+jψ(t) t <α,β>
Ø okreslona i ograniczona w <α,β>
α =t<t1<…<tn = β
Ø(t) calkowalna w <α,β> tylko wtedy gdy φ(t) i ψ(t) całkowalne w tym przedziale
Calka krzywoliniowa
Niech f(z) będzie funkcja okreslona wzdłuż krzywej C, z=z(t)
t<α,β> C jest krzywa gladka tzn krzywa która posiada długość
Dzielimy na czesci krzywa od A do B Zo … Zn
Zo=Z(to) i Zn=Z(to) to
Twierdzenie: Jeżeli f(z) jest ciagla na krzywej C danej równaniem z=z(t) t<α,β>
4. przekształcenie Laplace’a
-funkcja przedziałami ciagla
-tylko pkt nieciągłości 1 rodzaju
-wykladniczo ograniczona
f,g oryginaly
Stala można wyciągnąć przed przekształcenie, przeksztalcenie sumy rowna się sumie przekształceń itd.
5. Szereg Laurenta
Jeżeli te szeregi sa zbieżne w wspolnej czesci to
zbierzny
Rozbierzny
Zo= pkt osobliwy nazywa się punktem istotnie osobliwym jeżeli czesc osobliwa szregu jest nieskonczona
Jeżeli r<R
W pierścieniu r<|z - zo|<R oba szeregi sa zbieżne i przedstawiaja funkcje analityczna
Jeżeli f(z) analityczna w pierscieniu r<|z - zo|<R to daje się rozwinąć w szereg Laurenta przy czym
k- okrag o srodku w zo zawarty w pierscieniu
6. Krzywa Jordana
Linia o równaniu z=z(t), α<< t <<β nazywamy krzywa zamknieta gdy z(α) = z(β) jeśli dla t1rozne od t2, t1 i t2 naleza do (α,β) z(t1) rozne od z(t2) to mowimy ze krzywa nie ma punktow wielokrotnych i nazywamy ja krzywa Jordana.
Kazda funkcje rozniczkowalna F(z) w obszarze D nazywamy funkcja pierwotna F’(z)=f(z) w D.
Jeżeli funkcja jest ciagla i ma pierwotna f w obszarze D to zachodzi
Jeżeli f(z) jest analityczna w obszarze D na jego brzegu c (D-jednospojny), C – krzywa zamknieta to calka
Niech C1,..Cp będą konturami z których każdy lezy na zewnatrz tego konturu
Jeżeli f(z) jest analityczna wewnątrz obszaru D i ciagla w D należącym do C (c – kontru tego obszaru) to
Jeżeli f(z) jest analityczna w obszarze D ograniczonym konturami Co,C1,…Cp i ciagla w obszarze domkniętym to calka po konturze Co rowna się sumei calek po konturach C1 … Cp
7. Proste i odwrotne przekształcenie Fouriera
Ze wzoru
po przekształceniu:
(i)
(ii)- proste przekształcenie Fouriera nazywamy transformatą funkcji f i oznaczamy
(i) – przekształcenie odwrotne:
Uwaga: w powyższych dwóch wzorach F[..] i F-1 powinny być stylizowane (tak jak oznaczamy trans. Fouriera – F )
8. Własności przekształcenia Fouriera:
1.
2.
3. Jeżeli funkcja f oraz są bezwzględnie całkowalne w przedziale (-∞,∞) gdzie całka i to
- przekształcenie Fouriera dla całki.
4. Własność zwana przesunięciem:
5. dla
Uwaga: wszystkie F za znakiem równości w pkt 3,4,5 sa zwykle. Wszystkie inne są stylizowane (tak jak oznaczamy trans. Fouriera – F )
9. PRZEKSZTAŁCENIE Z
an+1=r+an dn+1=f(dn) an+1-a1=r an+2+ 2an+1+ an=0 f: N u{0}->{R./Z. {fn} { f0 f1 f2 ...} df= limn->¥supln{fn}/n to eksponent ciągu {fn} np. fn=e-n to df=-1 Transformata Z ciągu o wyrazie ogólnym {fn} nazywamy funkcją zmiennej zespolonej postaci F(z)= ¥ån=0fnz-n= f0+ f1/z + f2/z2 +... Z(f)=F(z) ten szereg jest zbieżny dla IzI>R, rozbieżny dla IzI<R gdzie R jest promieniem zbieżności, który zależy od współczynników
Własności: dane ciągi {fn}{gn}Z(f)=F(z), Z(g)=G(z), Z(f+g)=Z(f)+Z(g) Niech a,b=const to Z(af+bg)=
aF(z)+bG(z)=aZ(f)+bZ(g)
10. Szereg furiera postac zespolona
f-okresowa w okresie 2 π f(x)=a0/2 + n=1Σ∞(ancosnx+bnsinnx)
temu szeregowi możemy nadac inna nazwe zespolona cosy=(ejy+e-jy)/2 siny=( ejy-e-jy)/2j
f(x)=a0/2+
+ n=1Σ∞an(ejnx+e-jnx)/2-jbn( ejxn-e-jxn)/2 =a0/2 + n=1Σ∞ (an-jbn)/2*ejnx+
+(an-jbn)/2*e-jnx
c0=a0/2 ; cu=(an-jbn)/2 ; cn=(an+jbn)/2
f(x)=c0+ n=1Σ∞(cnejnx+c-ne-jnx)
f(x)= n=-∞Σ∞cnejnx n=0,+-1,+-2,+-3…
a0=1/ π*- π ∫ πf(x)dx
an=1/ π*- π ∫ πf(x)cosnxdx
bn=1/ π*- π ∫ πf(x)sinnxdx
cn=1/...