sciaga z anala, Pwr MBM, Analiza

Twoim problemem jest to, że powszechną NICOŚĆ mylisz z osobistą PUSTKĄ

Zbieżność całek postaci 1 rodzaju

Niech a>0. Wtedy

Kryterium porównawcze

Jeżeli

1. 0 £ f(x) £ g(x) dla każdego x Î [a,¥),

2. funkcje f i g są całkowalne na przedziałach [a,T] dla T>a,

3. całka jest zbieżna

to całka jest zbieżna.

Kryterium ilorazowe

Niech funkcje dodatnie f i g będą całkowalne na przedziałach [a,T] dla każdego T>a oraz niech , gdzie 0<k<¥. Wówczas

całka jest zbieżna Û całka jest zbieżna.

Zbieżność bezwzględna całek niewłaściwych pierwszego rodzaju

Niech funkcja f będzie całkowalna na przedziałach [a,T] dla każdego T>a. Całka jest zbieżna bezwzględnie jest zbieżna.

O zbieżności całek 2 rodzaju

Niech b>0. Wtedy całka niewłaściwa .

Warunek konieczny zbieżności szeregu

Jeżeli szereg jest zbieżny, to .

Zbieżność szeregów postaci

Szereg

Kryterium d’Alemberta

1. Jeżeli , to szereg jest zbieżny.

2. Jeżeli , to szereg jest rozbieżny.

Kryterium Cauchy’ego

1. Jeżeli , to szereg jest zbieżny.

2. Jeżeli , to szereg jest rozbieżny

Leibniza o zbieżności szeregu naprzemiennego

Jeżeli

1. ciąg (bn) jest nierosnący od numeru n0ÎN,

to szereg naprzemienny

jest zbieżny.

Promień zbieżności szeregu potęgowego

Promieniem zbieżności szeregu potęgowego nazywamy liczbę R określoną równością:

Cauchy’ego – Hadamarda

Niech 0 < R < ¥ będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego . Wtedy szereg ten jest:

a) zbieżny bezwzględnie w każdym punkcie przedziału (x0 – R , x0 + R),

b) rozbieżny w każdym punkcie zbioru (-¥ , x0 – R )È(x0 + R, ¥).

Def. 4.1.1 (pochodne cząstkowe pierwszego rzędu)

Niech funkcja f będzie określona na obszarze D Ì R2 oraz niech (x0,y0) Î D. Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem x w punkcie (x0,y0) określamy wzorem:

Dla y to samo.

Pochodne cząstkowe drugiego rzędu

Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe , na obszarze D Ì R2 oraz niech (x0,y0) Î D. Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f w punkcie (x0,y0) określamy wzorami:

Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji w punkcie (x0,y0,z0), gdzie , ma postać:

Różniczka funkcji

Różniczką funkcji f w punkcie (x0,y0) nazywamy funkcję zmiennych , określoną wzorem:

Zastosowanie różniczki funkcji do obliczeń przybliżonych

Zastosowanie różniczki funkcji do szacowania błędów pomiarów

O pochodnej funkcji złożonej

Pochodna kierunkowa funkcji

niech będzie wersorem na płaszczyźnie. Pochodną kierunkową funkcji f w punkcie (x0,y0) w kierunku wersora określamy wzorem:

Gradient funkcji

Pochodna kierunkowa

Warunek konieczny istnienia ekstremum)

Warunek wystarczający istnienia ekstremum

1. funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego na otoczeniu punktu (x0,y0),

2. ,

3. .

a) minimum lokalne właściwe, gdy

b) maksimum lokalne właściwe, gdy

O istnieniu i różniczkowalności funkcji uwikłanej

2. .

Wtedy na pewnym otoczeniu punktu x0 istnieje jednoznacznie określona funkcja uwikłana y = y(x) spełniająca warunki:

a) dla każdego x z tego otoczenia,

b) y(x0) = y0,

c) dla każdego x z tego otoczenia.

O ekstremach funkcji uwikłanej

niech

Wtedy funkcja uwikłana y = y(x) określona przez równanie F(x,y) = 0 ma w punkcie (x0,y0) ekstremum lokalne właściwe i jest to:

a) minimum, gdy A > 0

b) maksimum, gdy A < 0.

Równanie stycznej do krzywej określonej równaniem F(x,y)=0, w punkcie (xo,yo)

sciaga z anala, Pwr MBM, Analiza

Twoim problemem jest to, że powszechną NICOŚĆ mylisz z osobistą PUSTKĄ

Formularz