Twoim problemem jest to, że powszechną NICOŚĆ mylisz z osobistą PUSTKĄ
k-z ilu wybieramy n- ile wybieramy
Elementy:
Permutacja bez powtórzeń:
-kolejność jest istotna
-ilość wyrazów permutacji = ilość el zbioru
-wyrazy permutacji są różne
Pn=n!
Permutacje z powtórzeniami:
-kolejność istotna
- el wystepują conajmniej 1 raz
(ułorzenie słowa z liter)
Wariacje bez powtórzeń-kolejność istotna
-el zbioru A wystepuje 1 raz
Wariacja z powtórzeniami:
-kolejność istotna
-el powtarzają się wielokrotnie lub 1 raz
Sposób wyjścia z windy.
Kombinacje bez powtórzeń:
-kolejność nieistotna
partie (dobre,złe)
8 dobrych 2 zle czyli razem 10, losujemy 2
Kx=(0,1,2) x-dobre
Omega = k 10
n 2 10!/2!(10-2)!
0 dobrych = k 2
n 2 2!/2!(2-2)!
1 dobra = k k 8 2 8!/1!(8-1)!*2!/1!(2-1)!
1 zła n n 1 1
2 dobre = k 8
n 2 8!/2!(8-2)!
Kombinacja z powtórzeniami:
-nie rozróżnia się elementów
-kolejnośc nieistotna
losowanie z zbioru k-elementowego ze zwracaniem bez kolejności
S=2W
Doświadczenie losowe-jt doświadczenie którego wyników nie można jednoznacznie przewidzieć
Częstość- otrzymano wynik k przy n razy= k/n
Prawidłowość statystyczna-częstośc staje się bliska pewnej liczbie.
Zdarzenie elementarne w-pojęcie pierwotne niedefiniowalne (wynik doświadczenia losowego)
Zbiór zdarzeń elementarnych W-pojecie pierwotne zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych doś. los.
Zdarzenie losowe- podzbiór zbioru W niepustą klasą S podzbiorów W spełniającą warunki:1. AÎS, to A’ = W -AÎS (wykonalność uzupełniena)
2. jeśli A1 A2 Î S, to A1ÈA2È...Î S (wykonalnośc
przeliczalnego dodawania)
nazywamy s-ciałem zbarzeń losowych, zas elementy tej klasy zdarzeniami losowymi
Własności zdarzeń losowych s-ciało zdarzeń losowych ma właściwości:
1.WÎS, ÆÎS
2.Jeśli A1 A2 ÎS to A1ÇA2Ç..ÎS (wykonalność
przeliczalnego mnożenia)
3.Jeśli A1...An ÎS to A1È...ÈAnÎS (wykonalność
dodawania
4. Jeśli A1...An ÎS to A1Ç...ÇAnÎS (wykonalność
mnożenia
5.Jesli A,B ÎS to A-B ÎS (wykonalność odejm)
Zdarzenia w zbiorze skonczonym:
Jeśli zbiór zdarzeń el W jest skończony, to przyjmujemy, że każdy podzbiór zbioru W jest zdarzeniem czyli S=2W
Definicja aksjomatyczna prawdopodobieństwa – jt funkcja która spełnia warunki: P: S®1.P(A) >=0
2.P(W)=1
3.Dla dowolnego ciągu zdarzeń A1 A2 ...ÎS wykluczających się (AiÇAj=Æ dla i¹j zachodzi wzór
P(A1ÈA2È...) = P(A1) + P(A2)+...
(przeliczalna addytywność)
Liczbę P(A) nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A
Własności prawdopodobieństwa:
1.P(Æ)=0
2.Jesli A1,...,An wykluczają się to
P(A1È...ÈAn) = P(A1)+...+P(An)
(skończona addytywność)
3.Jeśli AÌB to P(A) <=P(B) (monotoniczność prawd)
4.P(A)<=1
5.Jeśli AÌB to P(B-A)=P(B) – P(A)
6.P(AÈB)= P(A)+P(B)-P(AÇB)
7.P(A)=1-P(A’)
8.
9.
Definicja klasyczna:
Jeśli zbiór zdarzeń elementarnych W składa się ze skończonej liczby n zdarzeń el. i prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń el {wi}, i=1,2...n są równe to prawdopodobieństwo zdarzenia A składającego się z k zdarzeń wyraza się wzorem
Przestrzeń probabilistyczna: jt trójka (W,S,P)
dla kazdego zdarzenia należy zdefiniować:
-zdarzenia el w tym doswiadczeniu
-jakie zbiory sa zdarzeniami losowymi
-jak oblicza sie prawdopodobienstwo tych zdarzeń
Prawdopodobienstwo warunkowe: niech (W,S,P)
Jeśli B jest zdarzeniem o dodatnim prawd. P(B)>0 to prawd. dowolnego zdarzenia A pod warunkiem że zaszło zdarzenie B okreslamy na s-ciałem S wzorem
Pod warunkiem że zaszło zdarzenie
Prawdopodobieństwo iloczynu: zamieniając
P(AÇB)= P(A)*P(B/A), P(A) >0
Za pierwszym razem otrzymano…Prawdopodobieństwo całkowite:
Jeżeli zdarzenie losowe A1...An o dodatnich prwd. wykluczaja sie parami i suma ich jest zdarzeniem pewnym to dla dowolnego zdarzenia losowego B zachodzi wzór:
P(B)= P(A1)*P(B/A1)+...+P(An)*P(B/An)
Założenia tego twierdzenia:
1.P(A1) >0, P(An)>0
2.AiÇAj=0 dla i¹j
3.A1È...ÈAn=W
Twierdzenie Bayesa:
Jesli zdarzenia losowe A1,...An o dodatnich prawd. wykluczają się parami i ich suma jest zdarzeniem pewnym, zas B jest zdarzeniem o dodatnim prawd. to zachodzi wzór:
Zdarzenia niezalerzne:
Niech (W,S,P) będzie pp. A,BÎS.
Zdarzenia A i B są niezależne jesli:
P(AÇB)=P(A)·P(B)
Niezalezność n zdarzeń:
Mówimy że zdarzenia A1,...An sa niezalezne jeśli
P(A1Ç...ÇAn)= P(A1)·...·P(An)
Zmienna losowa jednowymiarowa: jt dowolna funkcja określona na zbiorze zdarzeń elementarnych przyjmująca wartości rzeczywiste X: W®R i spełniająca warunek:
dla każdego
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej:
Niech X będzie zmienna losową jednowym. w (W,S,P)
Px: B® R
Px(A) = P ({wÎW: X(w) ÎA})
Przykłady:
· A={a}
P({wÎW: X(w)=a})= P(X=a)
· A=(a,b>
P({wÎW: X(w)ÎA})= P(a<X<=b)
· A=(-¥,b)
P({wÎW: X(w)ÎA})= P(x<b)
· AÎ(-¥,+¥)
P({wÎW: X(w)ÎR})=P(-...