sciaga mini2 ponumerowana, ATH, MES, sciagi

Twoim problemem jest to, że powszechną NICOŚĆ mylisz z osobistą PUSTKĄ

1) Koncepcja i ogólna zasade metody elementów skończonych

Metoda elementów skończonych jest to przybliżona metodą poszukiwań rozwiązań analizy matematycznej. Korzysta się, w przypadku tej metody z narzędzi numerycznych, które wykorzystują do rozpatrzenia numerycznych modeli obliczeniowych dyskretyzacje. Czyli transformacja modelu od postaci reprezentacji ciągłej do reprezentacji dyskretnej.

Generalnie istnieją współcześnie cztery główne tego rodzaju techniki , w postaci metod:

· FDM , różnic skończonych wprowadzająca aproksymacje pochodnych za pomocą

ilorazu różnicowego;

· FVM , objętości skończonych, która posługuje się wartościami dyskretnymi jako

uśrednionymi w obrębie pewnej objętości;

· FEM , elementów skończonych zakładająca arbitralną aproksymację dla

poszukiwanych pól wielkości fizycznych, którą następnie łączy z modelem

dyskretnym geometrii;

· BEM , elementów brzegowych -całkowicie odmienna o trzech wcześniejszych bowiem

wprowadzająca wyłącznie dyskretyzację brzegu, aczkolwiek o znacznie mniejszych zakresie zastosowań.

2) Pojęcie funkcjonału i jego wariancji

Funkcjonał:

Ju=abFx,ux,u'xdx

gdzie u'x=duxdx

Oczekujemy iż funkcja u(x),:

R⊃ a,b∋x→u(x)∈R

I oznaczona przez

u(a)u(b)

Minimalizuje funkcjonał J

Podstawiając założoną ũ(x)

mamy definiowany funkcja :

Jũ(x)=abFx,ux+hx,u'x+h'(x)dx

Definicja (Warjacja funkcjonału)

Niech J :U -> R będzie funkcjonałem określonym na przestrzeni funkcyjnej U danej ε - otoczeniem u(x). Jeżeli funkcjonał J jest różniczkowalny, to przyrost jego wartości odpowiadający zmianie h

∆J=Ju+h-J(u) można wyrazić jako ∆J=ɸh+εu,h|h|

Funkcjonał ɸ(h) jest liniowy względem h zaś limh→0εu,h=0

Funkcjonał ɸh określający przyrost funkcjonału J przy h→0, nazywamy warjacją funkcjonału δJ.

Warunek konieczny ekstremum funkcjonału

Jeżeli funkcjonał J (u) posiada ekstremum dla u = u0 oraz istnieje wariacja funkcjonału δJ, to

warunkiem koniecznym wystąpienia ekstremum jest δJ = 0, dla u = u0;

3) Dualizm formalny modeli (rownanie Euler-Lagrangea)

Funkcjał J:U→R określany na przestrzeni funkcyjnej U osiąga ekstremum wtedy i tylko wtedy gdy:

ϑFϑu-ddxϑFϑu'=0

Zasada metody Ritza rozwiązań przybliżonych

Aproksymacja u(x)rozwiązanie u(x) powinna dawać sumarycznie zerowe residuum w obszarze rozwiązania x ∈< a; b >, czyli

abrxdx=0

Zasada metody Rayleigha – Ritza rozwiązań przybliżonych

Zakłada poszukiwanie rozwiązania korzystając wprost z twierdzenia Eulera-Lagrange'a, czyli stara się sprowadzić problem od minimalizacji odpowiedniego funkcjonału

Lu-f=0⇒ƋF(u)Ƌu-ddxƋF(u)Ƌu'=0⟺δJFu=0

Zasada metody ważonych rozwiązań przybliżonych

Aproksymacja rozwiązania powinna przynosić zerową wartość sumy ważonej residuów

abwxrxdx=0

Generalnie jednak istnieje wiele sformułowań , odpowiednio do sposobu doboru funkcji wagowej

w(x) - mamy metody

· Kollokacji, która przyjmuje wagi w postaci funkcji δ-Diraca

abδxi-xrxdx=0, abδxi-xdx=1, x ∈< a; b >

· najmniejszych kwadratów gdzie jako funkcję wagową przyjmuje się residuum, czyli

abrxrxdx=abr2xdx

· galerkina która poszukuje rozwiązanie w postaci kombinacji liniowej wielomianów u=iciψi a funkcje wagową przyjmuję jako bazę aproksymacji

abψixrx,cidx

Posługując się metodą Ritza, Rayleigha – Ritza, Galerkina, rozwiązać wskazane równanie różniczkowe.

Weźmy równanie różniczkowe

d2uxdx2-6x=0,

Przy warunkach brzegowych u0=0u1=0

Wyznaczając równanie na drodze analitycznej, ammy

d2uxdx2-6x=0→d2uxdx2=6x

I całkując dwukrotnie

d2uxdx2dx=6xdx+c→duxdx=6x22+c=3x2+c

duxdxdx=3x2+cdx+c'=x3+cx+c'

Wprowadzając warunki brzegowe

u0=0=03-c∙0+c'→c'=0

u1=0=13-c∙1→c=-1

Otrzymujemy poszukiwaną całkę szczególną wyjściowego zagadnienia brzegowego

ux=x3-x

Załóżmy w sposób całkowicie arbitralny, że rozwiązanie będziemy poszukiwać w postaci aproksymacji wielomianowej

ux=c0+c1x+c2x2

Co oczywiste musi ona czynić za dość warunkom brzegowym czyli musi być

u0=0u1=0→

u0=c0+c1∙0+ c2∙02→c0=0u1=c0+c1∙1+ c2∙12→c1=-c2

Zatem na to aby założona na wstępie funkcja ux spełniała warunki brzegowe zadania musi mieć postać

ux=-c2x+c2x2=c2x(x-1)

Przyjmijmy że parametr c2 oznaczymy jako k, więc

ux=kx(x-1)

Ponieważ dla każdej z metod potrzebna jest znajomość pochodnych u więc obliczamy już teraz

duxdx=u'=ddxkx2-...

sciaga mini2 ponumerowana, ATH, MES, sciagi

Twoim problemem jest to, że powszechną NICOŚĆ mylisz z osobistą PUSTKĄ

Formularz