sciaga egzamin, Zarządzanie PWR, I stopień, I semestr, Matematyka

Twoim problemem jest to, że powszechną NICOŚĆ mylisz z osobistą PUSTKĄ

Zespolone

Z=x+iy, i2=-1, usuwanie i z mianownika przez sprzężenie np. 1-i1-i, |z|=x2+y2, |z-z0|=okrag <kolo bez brzegu >zewnętrze kola bez brzegu <=kolo z brzegiem >=zewnętrze kola z brzegiem |z-z0|=|z-z1| symetralna odcinka z0z1 (prosta dzieląca odcinek na polowe pod kątem prostym) postać trygonometryczna z=|z|(cosγ+isinγ); delta ujemna istnieje!! Np. delta z -36 to +/-6i; cześć urojona z 2+3i to 3 a nie 3i; *jeśli mamy znaleźć x,y to porównujemy cześć rzeczywista i urojona z jednej strony równania do drugiej *narysować zbiory liczb z- podstawiamy z=x+iy i wyliczamy do postaci np. okręgu, albo samej liczby *korzystając z int geometrycznej modułu narysować zbiory np. |z-3+4i|=1 |z-(3-4i)|=1 S=(3,-4) r=1 *zapisać w postaci trygonometrycznej 3+i, obliczamy |z|=2 i zapisujemy z=23+i2=232+12i=2(cosπ6+sinπ6)

Wielomiany

Wx:Qx=wynik+RxQx , stopień R= stopień Q-1; P(x)=… Q(x)=x2-3x+1 (delta=1 x1=-1 x2=2) R(x)=ax+b-à R(x1)=P(x1) i R(x2)=P(x2),rozwiązujemy układ równań jeżeli reszta wyszłaby kwadratowa, to by były 3 równania itd.; jeżeli szukamy pierwiastków równania z x4 czyli dwukwadratowego to za x2 podstawiamy t, rozkład na ułamki proste: np. 4xx+1x2+12=Ax+1+Bx+Cx2+1+Dx+E(x2+1)2, sprowadzamy do wspólnego mianownika, wyliczamy i porównujemy prawa stronę z lewa (współczynniki przy x2, x, wolne- np.4x=x2(A+B)+x(C-D)+(A+C+D) to A+B=0 C-D=4 A+C+D=0 i liczymy

Geometria analityczna

wektorAB=(Xb-Xa, Yb-Ya, Zb-Za), |wAB|=x2+y2+z2 iloczyn skalarny- wek u o wek v= uxvx+uyvy+uzvz prostopadłość wektorów- sa prostopadle jeśli iloczyn skalarny=0 iloczyn wektorowy- wek u x wek v= ijkuxuyuzvxvyvz, gdzie i(1,0,0), j(0,1,0), k(0,0,1) to wersowy osi równoległość wektorów- jeżeli iloczyn wektorowy=0 równanie płaszczyzny- A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0, (A,B,C)=wek normalny (x0,y0,z0)=punkt na płaszczyźnie wektor normalny- iloczyn wektorowy płaszczyzna na wektorach- mamy punkt i 2 wektory, robimy wektor normalny i piszemy równanie punkt przecięcia prostej i płaszczyzny- punkt wspólny l i π kat l z π- rzutujemy prostopadle płaszczyznę rozpiętą na l na π kat miedzy płaszczyznami- liczymy kat miedzy wektorami normalnymi płaszczyzn symetria względem płaszczyzny- szukamy prostej prostopadłej i punktu wspólnego (S) wekPS= wekSP’ odległość p od l- S należy do l, wekPS o wek v=0 (prostopadły)

Macierze

Dodawanie- zgodność wymiarów, mnożenie przez liczbę- każda liczbę w macierzy mnożymy, mnożenie- długość wiersza taka jak długość kolumny, mnożymy cały wiersz przez cala kolumnę, transponowanie- zmiana wierszy na kolumny (1 wiersz będzie 1 kolumna) reguła sarrusa- z lewej do prawej+ z prawej do lewej- rozwiniecie laplacea- wybieramy wiersz gdzie jest najwięcej zer i mnożymy pierwsza liczbę przez -1 do potęgi x (numer wiersza +numer kolumny) i mnożymy przez resztę powstała z wykreślenia kolumny i wiersza w której była liczba. Jeśli kolumna ma same 0 to detA=0, jeżeli zamieniamy z sobą wiersze lub kolumny, to zmienia się znak wyznacznika, jeżeli dwie kolumny lub wiersze sa takie same, to detA=0, macierz odwrotna- można odwracać gdy detA≠0 A-1=1detA[Dij]T (transponowana macierz dopełnień algebraicznych -powstałych z wykreślenia kolumny i wiersza liczby) wzory cramera- xi=detAidetA, gdzie Ai powstaje z A przez zastąpienie kolumny x, y, z… przez kolumnę wyrazów wolnych. Eliminacja Gaussa- macierz przekształcamy operacjami elementarnymi na wierszach do postaci [A’|B’] gdzie A’ jest macierzą trójkątną a B kolumna wyrazów wolnych i odczytujemy rozwiązania

Ciągi, funkcje, granica

An+1-an do 0 lub An+1/an do 1 – badanie monotoniczności granica- st L=st M gr-iloraz współ przy najwyższych potęgach L>M gr ∞ L<M gr=0 b-a=a2-b2a+b ,3b-a=a3-b3a2+ab+b2 infA-kres dolny SupA- kres górny M- wartość max m- wartość min parzystość- f parzysta gdy f(-x)=f(x) f nieparzysta f(-x)=-f(x) ciągłość funkcji w punkcie- xo€D, limx→xo+fx=limx→xo-f(x), limx→xof(x)=f(xo) asymptoty- pionowa x=xo, limx→xo+f(x)=+/- ∞ limx→xo-f(x)=+/-∞ liczymy w punktach wyrzuconych z dziedziny, jeżeli w + i – wyjdzie +/-∞ to jest asymptota ukośna y=ax+b, a=limx→∞f(x)x b=limx→∞(f(x)-ax) liczba e-e=2,73 limn→∞(1an)an=e wykazać, ze jest pierwiastek- sprawdzic, czy jest ciagla (wielomianowa tak) policzyc f(duzej liczby i przeciwnej), jeżeli zmienia znak to ma miejsce zerowe.

Pochodne

A’=0 x’=1 (sinx)’=cosx (cosx)’=-sinx (tgx)’=1/cos2x (ctg)’=-1/sin2x (arctgx)’=1/x2+1 (ex)’=ex (ax)’=axlna (lnx)’=1/x (logax)’=1/x lna (fg)’=f’g+fg’ (f/g)’=f'g-fg'g2 f(g)’=g’(x)f’(g) x'=12x styczna-y=ax+b, y-f(x0)=f’(x0)(x-x0), f’(x0)=a przybliżone szukanie pierwiastka- f(x0)≈f(x1)+f’(x1)Δx, x0=x1+Δx

Całki

Przez części- fg=przed pochodna*po calce-po pochodnej*po calce (f↓do pochodnej, g↑do calki) jeżeli mamy x….*e,sin,cos, to x do pochodnej, jeżeli mamy ln lub arctg to do pochodnej, podstawienie- za cos co nam nie pasuje podstawiamy t i robimy pochodna obu stron np. x2+1=t -> 2x*dx=1*dt

Monotoniczność i ekstremum

f. rośnie f’(x)>0 maleje f’(x)<0 ekstremum f’(x)=0 p. przegięcia wklęsła f’’(x)>o wypukła f’’(x)<0

Całki

Monotoniczność i ekstremum

f. rośnie f’(x)>0 maleje f’(x)<0 ekstremum f’(x)=0 p. przegięcia wklęsła f’’(x)>o wypukła f’’(x)<0

sciaga egzamin, Zarządzanie PWR, I stopień, I semestr, Matematyka

Twoim problemem jest to, że powszechną NICOŚĆ mylisz z osobistą PUSTKĄ

Formularz