Twoim problemem jest to, że powszechną NICOŚĆ mylisz z osobistą PUSTKĄ
Wzór de Moivre’a zk=rk(coska+isinka)
Podprzestrzeń:podzbiór V0ÌV przestrzeni liniowej nazywamy podprzestrzenią Û gdy jest zamknięty względem działań tzn: 1.jeśli v,wÎV0Þv+wÎV0 2.jeśli vÎV0, lÎKÞl*vÎV0
Liniowa niezależność zbiór wektorów v1...vnnazywamy liniowo niezależnyÛ dla dowolnych l1...lnÎK jeśli l1v1+...lnvn=0 to l1=...=ln=0
Tw. Wektory są liniowo niezależneÛ jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych. Dowód: Þ z założenia istnieje kombinacja l1v1+...lnvn=0, gdzie l¹0 wówczas l1v1= - l2v2 - ...- lnvn/ * 1/l1
V1= - l2/l1*vn- ...-ln/l1*vnÜ niech v1=l2*v2+...+lnvn wówczas v1-l2*v2-...-lnvn=0 a to jest kombinacja nie trywialna.
Tw. Część wspólna podprzestrzeni jest podprzestrzenią. Dowód: oznaczmy {va} gdzie aÎA , Va-podprzestrzeń niech V0= dla każdego aÎA Va - część wspólna. Jest to zbiór niepusty bo zawiera 0. Czy V0 jest podprzestrzenią? . niech v,w ÎV0 .czy l1v+l2wÎV0 , (l1,l2ÎK)? Z założenia dla każdego a,v,wÎV0ÌVa , a więc l1v+l2wÎVa. A zatem l1v+l2wÎ dla każdego aÎA Va=V0.
Tw. Wektory a1....an tworzą bazę przestrzeni V Û element przestrzeni wÎV daje się przedstawić jednoznacznie jako kombinacja liniowa tych wektorów. Dowód: Þniech w ÎV z definicji bazy wynika, że istnieje w= a1a1+...akak. jest to jedyny rozkład , bo gdyby istniał inny w=b1a1+..+.bkak to odejmując stronami uzyskalibyśmy 0=(a1-b1)a1+...+(ak-bk)ak. A zatem wobec liniowej niezależności wektorów a1-b1=a2-b2=...=ak-bk a więc a1=b1, a2=b2,...,ak=bk. Ü wystarczy pokazać, że wektory a1....an są liniowo niezależne. Niech a1a1+...akak=0 ponieważ także 0*a1+...+0*ak=0, więc z jednoznaczności rozkładu a1=...=ak=0.
Tw. Złożenie dwóch odwzorowań liniowych jest odwzorowaniem liniowym. Dowód: niech f:V®V’, g:V’®V’’ będą liniowe. Wówczas gf(av+bw)=g(f(av+bw))=g(a(f(v)+bf(w))=a(gf(v)+b(gf(w)).
Tw. Odwzorowanie liniowe jest różnowartościoweÛKer(f)=0 Dowód:Þ jeśli vÎker(f) to f(v)=0, a więc z różnowartościowości v=0. a zatem tylko 0Îker(f) Ü przypuśćmy, że f(v)=f(w). pokazujemy, że v=w. otóż f(v-w)=f(v)-f(w)=0. stąd v-wÎker(f).a zatem v-w=0, daje v=w.
Tw. Dwie przestrzenie v,w są izomorficzne, gdy jest między nimi izomorfizm (tzn. Istnieje między nimi odwzorowanie liniowe , wzajemnie równoznaczne –różnowartościowe I „na”) dimv=dimw.
Tw. Przestrzeń liniowa V wymiaru n zbudowana nad ciałem K jest izomorficzna z przestrzenią liniową Kn.
Def. Rzędem odwzorowania liniowego f:v®w nazywamy wymiar obrazu rz(f)=dimf(v)
Tw. DimKer(f)+dimf(V)=dimV
Wartość własna Dane jest odwz liniowe f:VàV. Wektor V=/0 nazywamy wektorem własnym ó istnieje lÎR takie że f(V)= lV. Wówczas liczbę l nazywamy wartością własną.
Wektor własny macierzy A to taki wektor x, dla którego istnieje taka wartość λ, że zachodzi równość:A*(wektor)x= λ*(wektor)x
Wielomian charakterystyczny Niech A będzie macierzą kwadratową. Wielomian wA(l)=det(lI-A) nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy A.
Tw. Wielomian charakterystyczny przekształcenia nie zależy od bazy. Dowód: niech będzie dany w(l)=det(A-lI), oraz nowa baza i macierz P od jednej bazy do drugiej, to w nowej bazie przekształcenie ma macierz P-1AP. Z równości det(P-1AP-lI)=det(P-1AP-P-1lP)=det(P-1(A-lI)A)=detP-1det(A-lI)detP=(detP)1det(A-lI)detP=det(A-lI) wynika niezależność od bazy.
Tw. Każda macierz rzeczywista posiada wartość własną zespoloną. Wynika to z zasadniczego twierdzenia algebry. Dowód: Zasadnicze twierdzenie algebry każdy wielomian o współczynnikach zespolonych
W(z)=a0zn+a1zn-1+...+an (a0,a1ÎC, an¹0) posiada pierwiastki zespolone.
Wniosek: wielomian zespolony stopnia n posiada n pierwiastków, a zatem daje się rozłożyć W(z)=a0(z-z1)(z-z2)...(z-zn)
Tw. Niech f:V®V będzie odwzorowaniem liniowym. jeśli v1...vn są wektorami własnymi odpowiadającymi różnym wartościom własnym to są one liniowo niezależne. Dowód: ( dla n=2) przypuśćmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla n=2, niech odwzorowanie liniowe posiada wartości własne l1, l2 i wektory im odpowiadające v1,v2. pokażemy, że te wektory sa liniowo niezależne. Niech a1v1+a2v2=0, wówczas 0=f(a1v1+a2v2)=a1l1v1+a2l2v2 (*) z drugiej strony 0= l2(a1v1+a2v2)=l2a1v1+l2a2v2 (**)
Odejmując stronami uzyskujemy (*)-(**)= a1v1(l1-l2)=0, z założenia v1,v2 sa liniowo niezależne, a więc a1(l1-l2)=0 ponieważ wobec założenia wartości własne sa różne więc (l1-l2)¹0 daje to a1=0 , a także a2=0.
Def:Sygnaturę formy kwadratowej nazywamy parą liczb (p,g) gdzie p=ilość di>0 q=ilość di<0.
Def:Formę kwadratową nazywamy dodatnio określoną ó f(x)>0 dla każdego x=/0 || ujemnie określoną ó f(x)<0 dla x=/0 || nieokreśloną ó f(x)>0 f(y)<0 dla pewnych x,y.
Tw. Kryterium Sylwestera Macierz symetryczna A stopnia n jest dodatnio określonaÛwszystkie minory główne są dodatnie, nieujemnie określonaÛwszystkie minory główne są nieujemne, ujemnie określonaÛ(-1)kdk>0 dla każdego k=1,..,n, niedodatnio określonaÛ(-1)kdk³0 dla każdego k=1,..,n, nieokreślonaÛ(-1)idi>0,(-1)jdj<0 dla pewnych i,j=1..k.
Iloczynem skalarnym nazywamy funkcję: < , >:VxVàR t,że: 1.<x,y+z>=<x,y>+<x,z> 2.< lx,y>=l<x,y> 3.<x,y>=<y,x> 4.<x,x>>=0 oraz <x,x>=0óx=0
Normą wektora vÎV nazywamy liczbę ||v||=det pierwiastek z<v,v>. Definicja poprawna bo <v,v>>=0
Nierównosc Schwarza. Dla dowolnych wektorów w przestrzeni unormowanej zachodzi
nierównosc | < x, y > | ≤ ||x|| ·|| y||. Ponadto równosc ma miejsce <=> wektory x, y sa
współliniowe
...