Twoim problemem jest to, że powszechną NICOŚĆ mylisz z osobistą PUSTKĄ
Def.Superpozycją (złożeniem) odwz. f:X®Y i g:Y®Z nazywamy takie odwz. g°f:X®Z , które spełmia warunek "xÎX (g°f)(x)=g[f(x)]Def.Odwz. f:X®Y nazywamy odwracaln. jeżeli istnieje taka funkcja g:Y®X, że spełnione są warunki: f°g=idy Ù g°f=idx (idX®X: id(x)=x). Odwzorow. odwrotne do odwzorowania f oznaczamy f
"xÎX f[f(x)]=x i "yÎY f[f(y)]=y .Odwzorowanie f jest odwracalne Û gdy jest bijekcją.
Def.Jeżeli spełniony jest warunek $eÎA "aÎA e#a=a#e=a to element e nazywamy elementem neutralnym, a półgrupę – unitarną.Def.Półgrupę unitarną komutatywną, w której każdy element ma element symetr., tzn. "A $a’ÎA a#a’=a’#a=e nazyw. grupą abelową.Def.Trójką (A,#,°)[gdzie #,°-dwa działania wewnętrzne w niepustym zbiorze A] spełniającą warunki:1.para (A,#)- jest grupą abelową2.para (A,°)- jest półgrupą 3. działanie „°” jest dystrybutywne ( rozdzielne ) względem działania „#” tzn. "a,b,cÎA (a#b)°c=(a°c)#(b°c) c°(a#b)=(c°a)#(c°b) nazywamy pierścieniem.
Def. ciałaPierścień całkowity, w którym każdy element niezerowy ma element symetryczny (względem drugiego działania) nazywamy ciałem. Elementy ciała nazywamy liczbami albo skalarami.Def. przestrzeni liniowej (wektorowej)Niech V=(A,+) [będzie grupą abelową], K dowolnym ciałem zaś S:K´V®V odwzorowaniem, które parze elementów (a,V)Î K´V będziemy oznaczać S(a,V)=aV. Trójkę (V,K,S), która spełnia warunki:1."aÎK "a,b,cÎV a(a+b)=aa+ab 2."a,bÎK "aÎV (a+b)a=aa+ba
3."a,bÎK "aÎV (ab)a=a(ba) 4."aÎV 1a=a - nazywamy przestrzenią liniową, przestrzenią wektorową nad ciałem K i oznaczamy symbolem V(K). Elementy grupy V nazywamy wektorami, a odwzorowanie S, mnożeniem skalarów przez wektory.
Def.Kombinacją liniową n wektorów a,a,...,a z przestrzeni wektorowej [ÎV(K)] o współczynnikach nazywamy element przestrzeni V postaci .Def.Bazą przestrzeni liniowej V(K) nazywamy niepusty jej podzbiór, którego wektory e są liniowo niezależne, przy czym każdy wektor V da się przedstawić w postaci kombinacji liniowej wektorów bazy. Ilość elementów w bazie nazywamy wymiarem przestrzeni i ozn. symbolem dimV. "'a=- rozkład wektora w bazie {e}
Liczby zespolone. Jeżeli liczby zesp. z i z’ są różne od zera, a j i j są dowolnymi argumentami tych liczb, to suma j+j jest arg. iloczynu zz’ zaś różnica j-j jest argument. ilorazuTw.(wzory Moivre’a) Jeżeli liczba zespolona z jest różna od zera, a j jest jej dowolnym argumentem, to liczba rzeczywista nj , gdzie nÎN , jest argumentem liczby z.(cosj+isinj)=cosnj+isinnj
z=|z|( cosnj+isinnj)
Tw.Jeżeli z¹0 i z=|z|(cosj+isinj), to jest zbiorem n-elementow. postaci: =; k=0,1,2,...,n-1Tw. Bezouta Jeżeli z jest miejscem zerowym wielomianu p, to wielomian ten jest podzielny przez dwumian z- z i odwrotnie, czyli p(z)=0 Û (z- z)|p(z).
Tw. d’Alamberta Każdy wielomian w dziedzinie zespolonej stopnia n³1 ma co najmniej jedno miejsce zerowe.Wielomiany w liczbie zespolonejJeżeli liczba zespolona z jest pierwiastkiem wielomianu p o wspólczynnikach rzeczywistych, to również pierwiastkiem tego wielomianu jest liczba sprężona .
Funkcje wymierne Każdą funkcję wymierną właściwą można przedstawić w postaci sumy pewnej liczby ułamków prostych, przy czym: 1.Każdemu czynnikowi postaci (x- x) w rozkładzie mianownika q na czynniki odpowiadają w tej sumie składniki : ; gdzie a...aÎR2.Każdemu czynnikowi postaci (x+bx+c) w rozkładzie mianownika q na czynniki odpowiadają. w tej sumie składniki: gdzieb,cÎR oraz b-4c<0
Macierze i wyznaczniki Definicja macierzyMacierzą wymiaru m´n nazywamy wartość odwzorowania, którego dziedziną jest iloczyn kartezjański {1,2,...,m}´{1,2,...,n} a wartości są z pewnego zbioru (ciała) K : {1,2,...,m}´{1,2,...,n}®aÎK
Def.Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A nazywamy wartość odwzorowania det: zbioru macierzy stopnia n, które spełnia warunki : 1.jednorodność "lÎK det(a,...,la,...,a)=l(a,...,a,...a) 2.addytywność det=det+det
3. det=-det
4.detE=det=1 E- macierz jednostkowa
Własności:1.detA=detA wszystkie własności sformułowane dla kolumn są prawdziwe dla wierszy.2.det(0)=0 z własności 1.
3.Pomnożyć wyznacznik przez liczbę, znaczy pomnożyć 1 kolumnę macierzy przez tę liczbę.4.Zamiana miejscami dwóch kolumn macierzy powoduje zmianę znaku wyznacznika.5.Macierz o dwóch identycznych kolumnach ma wyznacznik równy 0 lub macierz o dwóch kolumnach proporcjonalnych ma wyznacznik równy zero.
det=-det detA=0 6.Macierz o kolumnie zerowej ma wyznacznik równy 0 det =det = det+(-1)det=0 7.Jeżeli w macierzy jedna kolumna jest kombinacją liniową pozostałych kolumn, to wyznacznik macierzy równa się zero det= det+det+...+det=0
8.Wyznacznik macierzy nie zmieni wartości, Jeśli do jego dowolnej kolumny dodamy kombinację liniową pozostałych.
9.Wyznacznik macierzy jest równy 0Û, gdy kolumny tej macierzy są liniowo zależne. 10.(twierdzenie Cauchy’ego)-Wyznacznik iloczynu macierzy równy jest iloczynowi wyznaczników macierzy. det(A*B)=(detA)*(detB) jeśli AB#BA det(AB)=det(BA)
Def. minoraMinorem M elementu a macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy, którą otrzymamy usuwając z macierzy A i-ty wiersz i j-tą kolumnę.
Def.Dopełnieniem algebraicznym A elementu amacierzy A nazywamy liczbę określoną wzorem A:=(-1)M
Def.Macierz kwadrat. A nazywamy macierzą nieosobliwą jeśli jej wyzn. jest różny od 0; jeśli detA=0, to A nazywamy macierzą osobli.
Def.Jeżeli macierze A,BÎ oraz AB=BA=E to macierz B nazywamy odwrotną do macierzy A i oznaczamy ją symbolem A.
Def.Niech U i V będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem K. Odwzorowanie f:U®V spełniające warunki:
1."a,bÎU f(a+b)=f(a)+f(b) - addytywność odwzorowania
2."lÎK "aÎU :f(la)=lf(a) - jednorodność odwzorowania – nazywamy przekształceniem liniowym przestrzeni U w V
(1.i 2.)Û "l,lÎK "a,bÎU f(la+lb)=lf(a)+lf(b)
Jeśli V=R to przekształcenie nazywamy formą liniową. F(U) podprzestrzeń liniowa przestrzeni V.
Def. rzędu macierzy.Rzędem niezerowej macierzyA=( a,a,... ,a) nazywamy ilość liniowo niezależnych wierszy bądź kolumn tych macierzy.Uwaga 1: Rzęd.macierzy A nazyw. największy stopień jej minora różnego od 0.Uwaga 2: DimL=( a,a,...,a)=r(A)
Własności rzędu macierzy:1.r(A)=0Û A=0 2.r(A)=r(A)
3.r(A)£min(m,n) jeśli AÎ
4.Rząd macierzy nie zmieni się jeśli dokonamy na kolumnach tej macierzy operacji, które nie zmienią wartości wyznacznika. W szczególności rząd macierzy nie zmieni się jeśli usuniemy z niej kolumnę zerową, lub z dwóch kolumn proporcjonaln. usuniemy jedną.
Przestrzeń metryczna i unormowan...